Методы математической физики

Вычетом функции в изолированной особой точке называется число равное коэффициенту ряда Лорана для в окрестности . Этот коэффициент можно представить в виде интеграла по замкнутому контуру , который содержит внутри только одну особую точку .

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением Бесселя. Поскольку общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде линейной комбинации любых (линейно независимых) частных решений, то возможны разнообразные варианты представления общего решения на основе использования функции Бесселя , функции Неймана и функций Ханкеля первого и второго рода . Например, , , (если не является целым числом). Выбор частных решений [...]

Теорема о вычетах: Если функция - непрерывна на замкнутом контуре С и аналитична внутри него за исключением конечного числа изолированных особых точек, то интеграл по замкнутому контуру равен произведению на сумму вычетов во всех особых точках, лежащих внутри контура: .

Свертка оригиналов соответствует произведению их изображений (для преобразования Лапласа), (для преобразования Фурье).

Для выделения однозначной ветви многозначной функции необходимо выполнить 3 этапа: 1. Найти точки ветвления. 2. Провести разрезы, соединяющие точки ветвления. При запрете пересечения разреза различные значения многозначной функции не могут переходить одно в другое. На разных берегах разреза ветвь принимает разные предельные значения, т.е. имеет конечный скачок. 3. В одной из точек разрезанной плоскости установить [...]

Особыми называются точки в которых функция не является аналитической. Выделяют три типа  изолированных особых точек однозначного характера: устранимые особые точки, особые точки типа полюс, существенно особые точки. Существует два эквивалентных способа определения типа особой точки: по величине предела функции в этой точке и по количеству членов главной части разложения Лорана в окрестности этой точки. Устранимая особая точка - [...]

Понятие аналитической функции и условия Коши-Римана. Функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в этой точке и в ближайшей ее окрестности. Можно доказать, что при выполнении этих условий функция будет дифференцируемой бесконечное число раз. Функция, аналитичная во всех точках области, называется аналитической в области. Для проверки аналитичности используются условия Коши-Римана: , , где [...]

,   , , ,

Дополнительные вопросы по курсу "Теория функций комплексной переменной" скачать файл Необходимый минимум: 1. Записать формулы нахождения модуля и аргумента комплексного числа . 2. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана. 3. Свойства аналитической функции (перечислить не менее трех). 4. Какое отображение называется конформным? 5. Свойства дробно-линейной функции. 6. Интегральная теорема Коши. 7. Классификация особых точек с примерами. [...]