Методы математической физики

Для  однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами -ого порядка уравнение называется характеристическим. В этом уравнении степень характеристического числа соответствует порядку производной. Составление и решение характеристического уравнения является одним из этапов решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

Решение линейного неоднородного интегрального уравнения второго рода, например уравнения Фредгольма , если оно существует, всегда  можно представить в том же функциональном виде . Ядро решения  - функция  - называется резольвентой (разрешающим ядром). При решении интегрального уравнения Фредгольма методом последовательных приближений резольвента представляется следующим рядом Неймана , где -повторные (итерированные) ядра, которые находятся по следующему рекуррентному соотношению , где [...]

В отличие от дифференциальных уравнений интегральные уравнения имеют четкую классификацию по 4 признакам: 1. Линейность/нелинейность Линейным называется уравнение, в котором неизвестная функция содержится в первой степени. В противном случае уравнение будет нелинейным. 2. Однородность/неоднородность Если в уравнении есть слагаемое, не содержащее неизвестной функции, то уравнение неоднородное, иначе однородное. 3. Фредгольма/ Вольтерра Если пределы интеграла в [...]

В. Пикуль. Рвать цветы под облаками (Первый университет) Миниатюра Валентина Пикуля рассказывает о годах обучения М.В. Ломоносова за границей. В. Пикуль. Быть тебе Остроградским Миниатюра Валентина Пикуля посвящена жизни и деятельности великого русского ученого-математика Михаила Васильевича Остроградского, внесшего вклад в интегральное и вариационное исчисление. Человеком он был ярким и необычным. "Конечно, не все в России любили математику [...]

Интегральным уравнением в свертках (другое название -  уравнение разностного типа) называется уравнение, содержащее интеграл свертки в смысле какого-либо интегрального преобразования. Выделяют следующие уравнения в свертках в смысле преобразования Фурье: 1) Уравнение Фредгольма первого рода . Применение прямого преобразования с использованием теоремы о свертке приводит к алгебраическому уравнению для изображений , откуда после применения обратного преобразования [...]

Метод Эйлера используется для решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами -ого порядка: . Делая замену искомой функции: , приходим к следующему виду уравнения: , которое называется характеристическим. Это уравнение имеет корней, включая комплексные и кратные. В зависимости от ситуации частные решения дифференциального уравнения имеют различный вид: 1) корни действительные и различные  , ,... 2) корни комплексные и взаимно [...]

- прямое преобразование Фурье, - обратное преобразование Фурье. Условия применимости: должна быть функцией ограниченного роста и удовлетворять условиям Дирихле (кусочная непрерывность, кусочная монотонность и ограниченность) на каждом конечном промежутке. Параметр находится из условия . При выполнении этих условий обеспечивается сходимость несобственных интегралов.  

Условие Липшица - это условие вида . Это условие используется для обобщения условий существования и единственности задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (теоремы Пикара) на более широкий класс функций и является ослаблением требования непрерывности производной .

Обратным к оператору  называется оператор , удовлетворяющий операторному соотношению , где  - единичный оператор. Понятие обратного оператора позволяет записать решение любой задачи максимально абстрактно, не вдаваясь в конкретные детали. Так, любую задачу можно представить в виде операторного уравнения , где   - неизвестная и известная функции. Тогда решение этой задачи, если оно существует и единственно, можно представить как [...]

Уравнение Эйлера - это дифференциальное уравнение вида . Для решения однородного уравнения Эйлера существуют два метода. Первый (универсальный) состоит в замене аргумента . При такой замене уравнение Эйлера переходит в уравнение с постоянными коэффициентами , которое решается методом Эйлера. Возвращаясь к исходному аргументу, получаем решение уравнения Эйлера. Иногда проще найти частные решения однородного уравнения Эйлера заменой [...]