Методы математической физики

Для определения типа линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно функции вида , где  - известная функция, необходимо заменой переменных  привести его в окрестности точки к канонической форме без смешанных производных . Уравнение называется в данной точке 1) эллиптическим, если все  одного знака. Примерами являются уравнение Лапласа  и уравнение Гельмгольца . 2) гиперболическим, если встречаются с разными знаками (обычно [...]

Пусть задано уравнение с постоянными коэффициентами вида  (уравнение Эйлера), которому соответствует уравнение характеристик . Заменой уравнение характеристик приводится к квадратному уравнению относительно коэффициента . В зависимости от величины дискриминанта рассмотрим 3 случая: 1.  (уравнение гиперболического типа). Корни квадратного уравнения действительны и различны, и общее решение уравнения Эйлера имеет вид , где - произвольные функции. 2.  (уравнение [...]

Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров (отрывок) Простейшее описание различных типов колебаний струны в зависимости от заданных начальных и граничных условий. Доступный язык и много рисунков. [Полный экземпляр книги здесь] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (отрывок) Обстоятельное изложение решения одномерного волнового уравнения, описывающего колебания струны, с помощью метода [...]

Формула Даламбера представляет собой решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения, т.е. решение уравнения при заданных начальных условиях ,  .

Свойства решений линейного однородного уравнения . 1. Линейная комбинация частных решений однородного уравнения , т.е. функция вида , где  - произвольные постоянные, также является частным решением однородного уравнения. Это свойство справедливо и для ряда , если он сходится равномерно, и его сумма имеет необходимые частные производные. 2. Если коэффициенты уравнения не зависят от какой-либо переменной (например, времени, [...]

Лосев Д.В. Преобразование Радона в радиоволновой томографии (методичка) Преобразование Радона широко используется в решении различных томографических задач, возникающих при дистанционном зондировании. Рассмотрены наиболее распространенные методы  его обращения: метод фурье-синтеза, метод ро-фильтрации, метод фильтрованных обратных проекций. Лосев Д.В. Преобразование Абеля в радиоволновой томографии (методичка) Преобразование Абеля исторически является первым решенным интегральным уравнением первого рода. Оно отличается от большинства известных [...]

Беличенко В.П., Якубов В.П. Взаимосвязь непрерывного и дискретного преобразований Фурье (методичка) Обсуждаются сходство и отличие между непрерывным преобразованием Фурье, справедливым для сигнала с бесконечной протяженностью, и дискретным преобразованием Фурье, представляющим функцию на ограниченном интервале наблюдения и периодически продолжаемую вне этого интервала. Описаны искажения, обусловленные конечностью временного интервала наблюдения сигнала, выбор шага дискретизации сигнала, эффект Гиббса. Кестер У. [...]

Задача математической физики считается поставленной корректно (по Адамару), если решение этой задачи 1) существует, 2) единственно, 3) устойчиво к возмущениям краевых условий. Нарушение условий корректности  краевой задачи свидетельствует о несоответствии рассматриваемой математической модели реальному физическому процессу.

Краснов М.Л. Интегральные уравнения: введение в теорию (отрывок) Материал посвящен проблемам решения уравнений Фредгольма первого рода - наиболее сложному и чувствительному к погрешностям типу интегральных уравнений. [Полный экземпляр книги здесь]