Методы математической физики

Для описания распространения электромагнитного поля в различных средах, используется система из 4 ДУсЧП первого порядка (так называемые уравнения Максвелла): , , , , где , -вектора напряжённости магнитного и электрического поля, , -вектора электрической и магнитной индукции. К этим уравнениям дописываются материальные уравнения , , , где , -магнитная и диэлектрическая постоянные, , -относительная магнитная и диэлектрическая проницаемости, -удельная проводимость, -плотность сторонних токов.  

Построение двумерной функции Грина с использованием метода контурного интеграла разбивается на следующие этапы: 1. Однородное ДУсЧП, соответствующее исходному, решается методом разделения переменных. 2. В полученных однородных обыкновенных дифференциальных уравнениях для функций  в правой части нуль заменяется соответствующей дельта-функцией. 3. В результате решения этих уравнений находятся одномерные характеристические функции Грина . 4. Двумерная функция Грина представляется в виде [...]

Функцию Грина можно трактовать как функцию, описывающую отклик физической системы на внешнее воздействие в виде точечного источника - источника, размеры которого стремятся к нулю, за счет чего плотность внешней силы стремится к бесконечности. Тогда решение ДУсЧП с произвольной правой частью  вида  можно рассматривать по принципу суперпозиции как сумму откликов системы на совокупность точечных источников, на которые [...]

Волновые процессы описываются волновым уравнением (так называемое временное представление) или уравнением Гельмгольца (спектральное или частотное представление). Поле точечного источника в свободном пространстве в спектральном представлении есть решение уравнения при использовании граничных условий на бесконечности по координатам  . Это решение имеет вид , где . Поле точечного источника в свободном пространстве во временном представлении есть решение уравнения , имеющее вид . [...]

В декартовой системе координат многомерная дельта-функция равна произведению одномерных: . В криволинейных системах координат это произведение необходимо поделить на коэффициенты Ламе. В полярной системе координат  . В цилиндрической системе координат  . В сферической системе координат  .

Спектральные представления дельта-функции (в смысле различных интегральных преобразований) получаются путем последовательного применения прямого и соответствующего обратного преобразования. Таким образом получаются следующие представления: (в смысле экспоненциального преобразования Фурье), ,   (в смысле преобразования Лапласа), ,  (в смысле косинус-преобразования Фурье), ,  (в смысле синус-преобразования Фурье).

Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн (отрывок) Рассмотрено решение задачи построения функции Грина свободного пространства в частотном представлении. Несмотря на кажущуюся распространенность этой задачи, изложение ее решения встречается, на удивление, редко. [Полный экземпляр книги здесь] Построение двумерной функции Грина методом контурного интеграла (видеозанятие)  На примере решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в [...]

Одна из первых демонстраций воздействия электричества на человека была организована аббатом Нолле. В 1746 г. он велел 200 своим монахам образовать цепь окружностью почти в милю и взяться руками за длинные железные прутья. Когда они выстроились, аббат незаметно присоединил концы цепи к лейденской банке. Результат был очень эффектным, поскольку электрический разряд заставил монахов подпрыгивать поочередно [...]