Основные идеи метода разделения переменных.

Решение неоднородного уравнения с неоднородными условиями, получаемое методом разделения переменных, записывается в виде суммы решений однородного уравнения с неоднородными условиями и неоднородного уравнения с однородными условиями. Таким образом, решение задачи разбивается на 2 этапа. Решение однородного уравнения с неоднородными условиями: 1.1 Искомая функция ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной независимой [...]

0 комментариев

Пояснить правило выбора интегральных преобразований в зависимости от типа краевой задачи.

Метод интегральных преобразований применяется в случаях, когда независимая переменная меняется в полубесконечных или бесконечных пределах. Выбор интегрального преобразования определяется типом краевых условий. 1)Если заданы условия Коши (начальные условия), что обычно бывает, если независимая переменная - время, то необходимо использовать преобразование Лапласа. 2)Если координата меняется в бесконечных пределах и заданы граничные условия на бесконечности, например , то необходимо [...]

0 комментариев

Перечислить методы построения многомерной функции Грина

Существует 3 основных метода построения многомерной функции Грина 1) Метод интегральных преобразований. 2) Метод разделения переменных (метод Фурье). 3) Метод контурного интеграла. 

0 комментариев

Записать уравнения Максвелла

Для описания распространения электромагнитного поля в различных средах, используется система из 4 ДУсЧП первого порядка (так называемые уравнения Максвелла): , , , , где , -вектора напряжённости магнитного и электрического поля, , -вектора электрической и магнитной индукции. К этим уравнениям дописываются материальные уравнения , , , где , -магнитная и диэлектрическая постоянные, , -относительная магнитная и диэлектрическая проницаемости, -удельная проводимость, -плотность сторонних токов.  

0 комментариев

Свойства одномерной дельта-функции

-функция Дирака -это наиболее известная из обобщенных функций, которая определяется 2 условиями 1) 2) . Последнее условие можно записать в эквивалентном виде . Перечислим наиболее важные свойства: 1) Четность . 2) Подобие . 3) Селективное свойство , . 4) -функция от произвольной функции , где  - корни уравнения ,  (обычно их называют простыми нулями функции ). 5) [...]

0 комментариев

Понятие свертки двух функций

Сверткой двух функций (для преобразования Фурье) называется интеграл вида . В случае применения преобразования Лапласа свертка принимает вид . (Это связано со свойством оригинала  при .) Свертка функций по своим свойствам подобна операции умножения: (коммутативность), (ассоциативность), (дистрибутивность). Свертка функций используется для решения задач методом интегральных преобразований при применении теоремы о свертке.

0 комментариев

Суть метода последовательных приближений и условия его применимости

Метод последовательных приближений является одним из наиболее универсальных методов решения интегральных уравнений (и не только их). Изложим его для линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода . На каждом этапе вместо неизвестной функции последовательно подставляется в интеграл предыдущее приближение , в результате чего находится последующее приближение : . В случае достаточно малого значения параметра предел последовательности приближений стремится к [...]

0 комментариев

Функция Грина и методы ее построения

Функция Грина - это решение дифференциального уравнения с правой частью в виде дельта-функции. Наибольшее развитие теория функции Грина получила для краевой задачи Штурма-Лиувилля, т.е. уравнения при заданных граничных условиях. Функция Грина позволяет сразу же записать решение того же дифференциального уравнения с произвольной правой частью  . Поскольку в правая часть уравнения для функции Грина является дельта-функцией, [...]

0 комментариев

Случаи понижения порядка дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение  -го порядка может быть представлено в общем виде как , где  - известная функция. Порядок уравнения удается понизить  в следующих случаях: 1)Если отсутствует в явном виде искомая функция   и, возможно, несколько ее первых производных , т.е. уравнение имеет вид . Тогда заменой порядок уравнения понижается на  единиц: . В случае разрешимости этого уравнения искомая функция  находится -кратным интегрированием. [...]

0 комментариев

Какое ядро называется вырожденным / симметричным

Ядро называется вырожденным, если его можно представить в следующем виде . Ядро называется симметричным, если оно не меняет своего функционального вида при перестановке аргументов . Методы решения интегральных уравнений с ядрами описанного типа рассмотрены здесь.

0 комментариев