δ -функция Дирака

-функция Дирака -это наиболее известная из обобщенных функций, которая определяется 2 условиями 1) 2) . Последнее условие можно записать в эквивалентном виде . -функция не является функцией в обычном смысле, а рассматривается как предел последовательности непрерывных функций. Геометрически ее можно представить как график импульсной функции (например, прямоугольный импульс), ширина которого стремится к нулю, а высота [...]

0 комментариев

Типы точек покоя

Исследование решения дифференциального уравнения вблизи точек покоя является одним из этапов качественной теории автономных уравнений, т.е. дифференциальных уравнений, в которых явно не содержится аргумент (время). Рассмотрим автономное  уравнение второго порядка . Это уравнение относится к случаям понижения порядка: при замене  оно переходит к уравнению первого порядка , где , . График решения полученного уравнения называется фазовой траекторией. [...]

0 комментариев

Суть метода последовательных приближений и условия его применимости

Метод последовательных приближений является одним из наиболее универсальных методов решения интегральных уравнений (и не только их). Изложим его для линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода . На каждом этапе вместо неизвестной функции последовательно подставляется в интеграл предыдущее приближение , в результате чего находится последующее приближение : . В случае достаточно малого значения параметра предел последовательности приближений стремится к [...]

0 комментариев

Условия устойчивости решения дифференциального уравнения

Для установления устойчивости часто используется исследования решения по первому приближению. Оно состоит в приближенном приведении исходного уравнения к линейному уравнению с постоянными коэффициентами для функции вариации : . Решение этого уравнения легко найти с помощью метода Эйлера. Можно утверждать, что решение  будет устойчивым (и даже асимптотически устойчивым), если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть . Если же [...]

Комментарии к записи Условия устойчивости решения дифференциального уравнения отключены

Понятие устойчивости по Ляпунову

Проблему устойчивости рассмотрим для решения задачи Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме , , ,..., , в которой начальные условия искажены , и, соответственно, решение задачи, зависящее от начальных условий, также отличается . Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого заданного  найдется такое , что при выполнении условия  имеет место неравенство для всех значений  из рассматриваемого интервала. [...]

0 комментариев

Свойства собственных значений и собственных функций симметричного ядра

Свойства собственных значений и собственных функций симметричного ядра в многом аналогичны соответствующим свойствам для задачи Штурма-Лиувилля: 1. Количество собственных значений симметричного ядра. У всякого непрерывного симметричного ядра имеется по крайней мере одно собственное значение. Симметричное ядро, являющееся одновременно вырожденным, имеет конечное число собственных значений. Если симметричное ядро не является вырожденным, то оно имеет бесконечное число собственных [...]

0 комментариев

Функция Грина и методы ее построения

Функция Грина - это решение дифференциального уравнения с правой частью в виде дельта-функции. Наибольшее развитие теория функции Грина получила для краевой задачи Штурма-Лиувилля, т.е. уравнения при заданных граничных условиях. Функция Грина позволяет сразу же записать решение того же дифференциального уравнения с произвольной правой частью  . Поскольку в правая часть уравнения для функции Грина является дельта-функцией, [...]

0 комментариев

Случаи понижения порядка дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение  -го порядка может быть представлено в общем виде как , где  - известная функция. Порядок уравнения удается понизить  в следующих случаях: 1)Если отсутствует в явном виде искомая функция   и, возможно, несколько ее первых производных , т.е. уравнение имеет вид . Тогда заменой порядок уравнения понижается на  единиц: . В случае разрешимости этого уравнения искомая функция  находится -кратным интегрированием. [...]

0 комментариев

Методы решения интегрального уравнения с вырожденным / симметричным ядром

1. Решение интегрального уравнения с вырожденным ядром Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, т.е. ядром , имеет вид . Входящие в уравнение определенные интегралы являются константами, которые обозначим . После их нахождения получим решение уравнения . Для нахождения постоянных , , умножим обе части исходного уравнения на  и проинтегрируем по  в пределах от до : . [...]

0 комментариев

Какое ядро называется вырожденным / симметричным

Ядро называется вырожденным, если его можно представить в следующем виде . Ядро называется симметричным, если оно не меняет своего функционального вида при перестановке аргументов . Методы решения интегральных уравнений с ядрами описанного типа рассмотрены здесь.

0 комментариев