Методы математической физики

Для интегральных преобразований Фурье и Лапласа производные оригинала соответствуют умножению изображения на аргумент в степени, равной порядку производных. Для преобразования Лапласа: , , ... . Для преобразования Фурье: . Это свойство позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические для изображений и определяет возможность решения дифференциальных уравнений методом интегральных преобразований.  

Это свойство интегральных преобразований Фурье и Лапласа, обратное к теореме о свертке: произведение оригиналов соответствует cвертке  их изображений. (для преобразования Лапласа), (для преобразования Фурье).

Одним из наиболее важных свойств интегральных преобразований Фурье и Лапласа является теорема о свертке: свертка оригиналов соответствует произведению их изображений. (для преобразования Лапласа), (для преобразования Фурье). Это свойство используется для нахождения оригинала по известному изображению.

Пусть функция определена на промежутке , периодична с периодом 2l, удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. она кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна и ограничена. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье в экспоненциальной форме . Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формуле . Осуществляя предельный переход , , от ряда Фурье можно перейти к интегральному преобразованию Фурье.

Сверткой двух функций (для преобразования Фурье) называется интеграл вида . В случае применения преобразования Лапласа свертка принимает вид . (Это связано со свойством оригинала  при .) Свертка функций по своим свойствам подобна операции умножения: (коммутативность), (ассоциативность), (дистрибутивность). Свертка функций используется для решения задач методом интегральных преобразований при применении теоремы о свертке.

Пусть прямоугольный импульс определен условием  Применяя прямое преобразование Фурье, получаем . Вычислим обратное преобразование Фурье от полученной спектральной плотности: . Используем свойства интеграла от четной и нечетной функций в симметричных пределах, приводя интеграл к виду . Получившийся несобственный интеграл часто встречается в анализе и известен как интеграл Дирихле: , где - знаковая функция. Его значение, например, можно [...]

Наиболее универсальная формула для вычисления вычета заключается в его определении: , где  - коэффициент разложения в ряд Лорана в окрестности при степени . В зависимости от типа особой точки возможны более простые способы. В случае устранимой особой точки, когда главная часть ряда Лорана отсутствует, . Вычет в полюсе n-го порядка вычисляется по формуле . Вычет в [...]

Формулой Родрига называется соотношение для ортогональных полиномов, согласно которому они вычисляются как производные от некоторой функции. Для полиномов Лежандра формула Родрига имеет вид .

. Ограниченными решениями этого уравнения являются присоединенные полиномы Лежандра, связанные соотношением с полиномами Лежандра , которые в свою очередь вычисляются по формуле Родрига.  

Производящей для системы функций называется функция двух переменных, для которой данные функции являются коэффициентами разложения в ряд Тейлора: . Использование производящих функций дает удобную возможность установления некоторых соотношений для исходных функций, в частности, рекуррентных. Примеры производящих функций: для полиномов Лежандра , для функций Бесселя .