Основные идеи метода разделения переменных.

Решение неоднородного уравнения с неоднородными условиями, получаемое методом разделения переменных, записывается в виде суммы решений однородного уравнения с неоднородными условиями и неоднородного уравнения с однородными условиями. Таким образом, решение задачи разбивается на 2 этапа. Решение однородного уравнения с неоднородными условиями: 1.1 Искомая функция ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной независимой [...]

0 комментариев

Пояснить правило выбора интегральных преобразований в зависимости от типа краевой задачи.

Метод интегральных преобразований применяется в случаях, когда независимая переменная меняется в полубесконечных или бесконечных пределах. Выбор интегрального преобразования определяется типом краевых условий. 1)Если заданы условия Коши (начальные условия), что обычно бывает, если независимая переменная - время, то необходимо использовать преобразование Лапласа. 2)Если координата меняется в бесконечных пределах и заданы граничные условия на бесконечности, например , то необходимо [...]

0 комментариев

Суть метода Галеркина

Метод Галеркина является приближенным методом решения дифференциальных уравнений вида , где - дифференциальный оператор достаточно произвольного вида, при граничных условиях ,, а также легко обобщается и на случай уравнений с частными производными. Приближенное решение ищется в виде разложения по известным базисным функциям , где функция  удовлетворяет условиям , и выбирается  из соображений наилучшего соответствия предполагаемому решению, [...]

0 комментариев

Суть метода Ритца

Метод Ритца является наиболее простым и популярным приближенным методом поиска экстремума функционала, например  при граничных условиях ,. Приближенное решение ищется в виде разложения по известным базисным функциям , где функция  удовлетворяет условиям , и выбирается  из соображений наилучшего соответствия предполагаемому решению, а система функций  должна удовлетворять условиям , а также условиям линейной независимости и полноты. [...]

0 комментариев

Понятие прямых методов математической физики

Прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным системам алгебраических уравнений.

0 комментариев

Условия максимума (минимума) функционала (условия Лежандра)

Условия экстремума функционала можно сформулировать в терминах второй вариации: Если  для любой ненулевой вариации функции , то функционал  имеет минимум. Если  для любой ненулевой вариации функции , то функционал  имеет максимум. Если  может принимать значения обоих знаков, то функционал  не имеет экстремума. В качестве необходимого условия экстремума применяют условия Лежандра: Если функционал  имеет минимум, то . Если функционал  [...]

0 комментариев

Понятие первой и второй вариаций функционала

Для исследования функционала, например в форме , на экстремум используется функция сравнения , где - экстремаль, - малый числовой параметр, - произвольная функция. При подстановке функции сравнения функционал становится функцией параметра  . Вариации функционала определяются разложением , соответствующим разложению функции  в ряд Тейлора В основном используется первая вариация , равенство нулю которой дает необходимое условие экстремума функционала, и вторая вариация , позволяющая определить, достигается минимум, максимум [...]

0 комментариев

Уравнение Остроградского

Уравнением Остроградского для функционала , где и т.д., называется дифференциальное уравнение с частными производными вида , являющееся необходимым условием экстремума функционала  .

0 комментариев

Сформулировать задачу Лагранжа на условный экстремум

Найти функции , придающие стационарное значение функционалу при заданных граничных условиях  и дополнительном условии .

0 комментариев

Сформулировать изопериметрическую задачу

Изопериметрическая задача заключается в поиске экстремума функционала при дополнительных условиях, что другие функционалы принимают заданные постоянные значения.

0 комментариев