Дифференциальные уравнения

Структура раздела примерно соответствует изложению, принятому на радиофизическом факультете ТГУ.  В то же время сам материал этого раздела чаще всего не совпадает с лекционными и практическими занятиями, сообщая дополнительные сведения, позволяющие расширить восприятие предмета и дающие возможность взглянуть на проблему с другого ракурса.

Основные понятия и определения

Рассматриваются основные понятия теории ДУ: классификация ДУ, понятие общего, частного и особого решений, начальных и граничных условий.

Составление ДУ для физических задач

Рассматриваются примеры составления ДУ для реальных физических процессов.

Условия существования и единственности решения ДУ. Особые решения и методы их нахождения

Доказывается основная теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Доказательство проводится на основе метода ломаных Эйлера и метода последовательных приближений Пикара. Рассматривается 4 метода нахождения особого решения, в том числе метод дискриминантной кривой и метод огибающей.

ДУ с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним

Рассматривается метод решения этого простейшего типа ДУ. Обсуждаются ДУ, которые методом замены переменных сводятся к нему.

Линейные ДУ первого порядка и сводящиеся к ним

Рассматривается метод вариации произвольных постоянных Лагранжа для неоднородного уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли и Риккати.

ДУ в полных дифференциалах и сводящиеся к ним

Рассматривается метод решения ДУ в полных дифференциалах, который обобщается с помощью теории интегрирующего множителя.

ДУ, не разрешенные относительно производных

ДУ, не разрешенные относительно производных разбиваются на 2 класса: ДУ, допускающие несколько ветвей решения, и ДУ, приводящиеся к нормальной форме с помощью параметрической замены переменных. Рассматриваются примеры решения неполных ДУ, уравнения Лагранжа и Клеро.

ДУ высших порядков. Случаи понижения порядка ДУ

Рассматриваются 3 основных случая понижения порядка ДУ и методы их решения на основе правильно подобранной замены переменных.

Общая теория линейных ДУ высших порядков

Исследуется структура общего решения линейных (однородного и неоднородного) уравнений на основе фундаментальной системы решений.

Линейные неоднородные ДУ высших порядков

Рассматривается метод вариации произвольных постоянных Лагранжа и метод наложения (принцип суперпозиции) для неоднородного уравнения высшего порядка.

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами и сводящиеся к ним

Рассматривается метод Эйлера для уравнения с постоянными коэффициентами. Изучается метод неопределенных коэффициентов для правых частей экспоненциального и тригонометрического вида.

Использование ДУ для анализа линейных цепей в электро- и радиотехнике

Представлено несколько примеров использования дифференциальных уравнений для описания переходных процессов и вычисления характеристик электрических цепей.

Системы дифференциальных уравнений

Небольшое введение в теорию систем ДУ

Задача Штурма-Лиувилля

Рассматривается регулярная задача Штурма-Лиувилля и наиболее важные свойства ее собственных значений и собственных функций.

Функция Грина и методы ее нахождения

Функция Грина вводится как ядро решения линейного ДУ второго порядка с произвольной правой частью. Изучается дельта-функция Дирака и некоторые ее свойства. Рассматриваются методы нахождения функции Грина: по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля и по двум частным решениям.

Решение ДУ с помощью степенных рядов

Рассматриваются две модификации метода решения ДУ с помощью степенных рядов (разложения Фробениуса): метод неопределенных коэффициентов и метод последовательного дифференцирования.

Теория устойчивости

Дается определение по Ляпунову устойчивого, неустойчивого и асимптотически устойчивого решения задачи Коши. Обсуждаются критерии устойчивости в малом.

Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений

Асимптотические методы предполагают приближенное нахождение решения уравнения при больших или малых значениях аргумента или параметра. К сожалению, из-за недостатка аудиторного времени на РФФ этот раздел практически не излагается. Предлагаемые материалы позволят получить студентам начальные сведения самостоятельно.

Качественные методы исследования автономных уравнений

Даются основы методов исследования автономных уравнений с помощью фазовых траекторий. Рассматриваются понятие точек покоя и основные их типы.

Численные методы решения дифференциальных уравнений

В последнее время в связи с развитием вычислительной техники численные методы решения дифференциальных уравнений становятся все более доминирующими. Однако всегда надо учитывать сильную неустойчивость этих методов к различным погрешностям задачи.

 

 

 

1 комментарий

Один ответ на “Дифференциальные уравнения”

  1. Алмазбек Февраль 5, 2018 в 11:39 дп #

    Вышла статья дифференциальное уравнение Абеля https://elibrary.ru/item.asp?id=32308066
    Исаев Алмазбек

Оставить ответ

%d bloggers like this: