ДУ высших порядков. Случаи понижения порядка ДУ

15. Предварительные сведения о ДУ высших порядков (видеолекция Д.В. Лосева)

Обсуждаются термины, характериные для теории дифференциальных уравнений высших порядков, условия существования и единственности задачи Коши и методы решения простейших уравнений такого типа.
Рассмотрено решение уравнения динамики, первый интеграл которого представляет собой закон сохранения энергии.

15a. Математический маятник и эллиптические функции (видеолекция Д.В. Лосева)

Продолжаем тему решения задач с помощью закона сохранения энергии и рассматриваем классическую задачу о колебаниях математического маятника. С точки зрения теории дифференциальных уравнений она точно решается до конца и приводится к интегралам, не берущимся в элементарных функциях. Оказывается, что описать процесс можно с использованием специальных функций - эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби, изучению свойств которых и посвящено видео. Оказывается, что все известные формулы для тригонометрических функций (теперь их можно назвать круговыми) имеют аналоги для эллиптических, только более сложные и странные. Но самое интересное у них - это то, что они относятся к классу двоякопериодических функций: у них кроме обычного периода имеется второй, чисто мнимый. В результате тригонометрические, гиперболические (которые являются периодическими с мнимым периодом) и эллиптические функции взаимно переходят друг в друга.
Эллиптические функции являются в сообществе специальных функций изгоями - в ВУЗах их обычно не изучают. Воспользуйтесь возможностью узнать больше!

16. Дифференциальные уравнения,  допускающие понижение порядка (видеолекция Д.В. Лосева)

Обсуждаются наиболее распространенные случаи понижения порядка для дифференциальных уравнений высших порядков.

16a. Уравнения в точных производных (видеолекция Д.В. Лосева)

Выводятся условия, аналогичные тождеству Эйлера, являющиеся признаком того, что левая часть уравнения представляет собой точную производную от некоторой функции.

Видеоурок "Понижение порядка дифференциального уравнения"

Демонстрируются примеры решения ДУ в случаях, когда в уравнении не содержится неизвестная функция (часть 1) и аргумент (часть 2).

Дифференциальные уравнения с понижением порядка (страница сайта "Mathprofi.ru – Высшая математика – просто и доступно!")

Приложение ДУ к задачам движения электрона в электрических и магнитных полях

Такого рода задачи решаются сведением исходных ДУ второго порядка к уравнениям первого порядка, имеющим смысл баланса кинетической и потенциальной энергий системы. В зависимости от начальных условий движение электрона может происходить по самым замысловатым траекториям.

[Полный экземпляр книги в библиотеке "НАУЧНОЕ НАСЛЕДИЕ РОССИИ"]

Консультация по дифференциальным уравнениям. Письменный экзамен (МФТИ)

Рассмотрены примеры задач по дифференциальным уравнениям, предлагаемые на экзамене в Физтехе: уравнения, не разрешенные относительно производной, случай понижения порядка, решение однородных и неоднородных уравнений и их систем, исcледование на устойчивость, уравнения с частными производными первого порядка, решение вариационной задачи.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: