δ -функция Дирака

\large \delta -функция Дирака \large \delta (x-x_{0}) -это наиболее известная из обобщенных функций, которая определяется 2 условиями

1) \large \delta (x-x_{0})=\begin{cases} 0, x \neq x_{0}, \ \infty , x=x_{0}. \end{cases}

2) \large \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x-x_{0})dx}=1.

Последнее условие можно записать в эквивалентном виде

\large \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-x_{0})dx}=f(x_{0}).

\large \delta -функция не является функцией в обычном смысле, а рассматривается как предел последовательности непрерывных функций. Геометрически ее можно представить как график импульсной функции (например, прямоугольный импульс), ширина которого стремится к нулю, а высота - к бесконечности, причем так, чтобы площадь под кривой была единичной.

В физике \large \delta -функция описывает плотность распределения источника, сосредоточенного в бесконечно малой окрестности точки - точечный источник.

Перечислим наиболее важные свойства:

1) Четность \large \delta (-x)=\delta (x).

2) Подобие \large \delta (ax)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (x).

3) Селективное свойство \large f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0}), \large x\delta (x)=0.

4) Преобразование аргумента \large \delta -функции:

\large \delta(\varphi(x))=\sum_{i}^{ }{\frac{\delta (x-x_{i})}{\left|\varphi'(x_{i})\right|}},

где \large x_{i} - корни уравнения \large\varphi(x)=0.

5) Первообразная \large \delta -функции

\large \int_{-\infty}^{x}{\delta (x-x_{0})dx}=\chi(x-x_{0}) ,

где функция \large \chi(x)=\begin{cases} 0, x< x_{0}, \ 1 , x data-recalc-dims=x_{0}. \end{cases} " /> называется функцией Хевисайда (ступенчатой функцией, функцией включения, функцией единичного скачка и т.п.).

\large \frac{d\chi(x-x_{0})}{dx}=\delta (x-x_{0}).

6) Использование функции Хевисайда позволяет дифференцировать по обычным правилам функции, имеющие разрыв первого рода. Пусть задана функция \large f(x)=\begin{cases} \varphi (x), x< x_{0}, \ \psi (x), x data-recalc-dims=x_{0}. \end{cases}=\varphi (x)+(\psi (x)-\varphi (x))\chi (x-x_{0})" />.

Тогда ее производную можно получить по обычным правилам дифференцирования

\large f'(x)=\varphi'(x)+(\psi'(x)-\varphi'(x))\chi (x-x_{0})+(\psi (x_{0})-\varphi (x_{0}))\delta(x-x_{0}).

7) Производная \large \delta -функции

\large f(x)\delta^{(n)} (x-x_{0})=(-1)^{n}f^{(n)}(x)\delta (x-x_{0}).

8) Спектральные представления \large \delta -функции

Большинство интегральных преобразований основано на интегральных представлениях \large \delta -функции. Перечислим некоторые из них.

\large\delta (x-x_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\alpha (x-x_{0})}{d\alpha},

\large\delta (x-x_{0})=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}sin(\alpha x)sin(\alpha x_{0}){d\alpha}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}cos(\alpha x)cos(\alpha x_{0}){d\alpha}\large x data-recalc-dims=0,x_{0}>0" />,

\large\delta (x-x_{0})=\frac{1}{2\pi i }\int_{\sigma - i\infty }^{\sigma + i\infty }{e ^{p(x-x_{0})}dp},\large x data-recalc-dims=0,x_{0}>0" />.

9) Разложение в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

\large \delta(x-x_{0})=r(x_{0})\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{y_{n}(x)y_{n}(x_{0})}{\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}}}\large x,x_{0}\in \left[a,b \right].

10) Аппроксимации \large \delta -функции

В качестве приближения \large \delta -функции часто используют следующие непрерывные функции:

\large\delta (x,\alpha)=\frac{\alpha}{\pi (\alpha^{2}x^{2}+1)},

\large\delta (x,\alpha)=\frac{\alpha}{\sqrt{\pi }}e^{\alpha^{2}x^{2}},

\large\delta (x,\alpha)=\frac{sin(\alpha x)}{\pi x}.

Все эти функции при \large\alpha\rightarrow\inftyстремятся к \large\delta (x).

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: