ДУ в полных дифференциалах и метод его решения

Дифференциальное уравнение вида

\large M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие,

\large \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, называемое тождеством Эйлера.

В этом случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал

\large du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

и общее решение (в неявном виде) можно записать в виде

\large u(x,y)=C.

Для нахождение \large u(x,y) необходимо проинтегрировать функцию \large M(x,y) по переменной \large x, считая при вычислении интеграла переменную \large y не зависящей от \large x, и прибавить произвольную функцию \large \varphi (y):

\large u(x,y)=\int M(x,y)dx+\varphi (y).

Для нахождения \large \varphi (y)  необходимо продифференцировать решение \large u(x,y) по переменной \large y и затем приравнять к функции \large N(x,y):

\large \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+ \varphi '(y)=N(x,y),

и, после сокращения слагаемых, зависящих от \large x, необходимо проинтегрировать обе части полученного уравнения по переменной \large y.

 

 

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: