Функция Грина и методы ее построения

Функция Грина \large G(x,s) - это решение дифференциального уравнения с правой частью в виде дельта-функции. Наибольшее развитие теория функции Грина получила для краевой задачи Штурма-Лиувилля, т.е. уравнения

\large \frac{d}{dx}(p(x)\frac{dG(x,s)}{dx})-q(x)G(x,s)+\lambda r(x)G(x,s)=\delta (x-s)

при заданных граничных условиях.

Функция Грина позволяет сразу же записать решение того же дифференциального уравнения с произвольной правой частью \large f(x)

\large y(x)=\int_{a}^{b}{f(s)G(x,s)ds}.

Поскольку в правая часть уравнения для функции Грина является дельта-функцией, т.е. равна нулю всюду, кроме точки \large x=s, то удобно решать однородное уравнение, описывая особенность при \large x=s дополнительными условиями в точке \large x=s:

1) Непрерывность функции Грина

\large G(x,s)\mid _{x=s+0}-G(x,s)\mid _{x=s-0}=0,

2) Скачок первой производной

\large \frac{\partial }{\partial x}G(x,s)\mid _{x=s+0}-\frac{\partial }{\partial x}G(x,s)\mid _{x=s-0}=\frac{1}{p(s)}.

Наибольшее употребление получили следующие методы построения функции Грина:

1) Разложение по собственным функциям соответствующей однородной задачи Штурма-Лиувилля:

\large G(x,s)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{y_{n}(x)y_{n}(s)}{(\lambda -\lambda _{n})\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}}},

где \large y_{n}, \large \lambda_{n} - собственные функции и значения задачи Штурма-Лиувилля\large\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}=\int_{a}^{b}{r(x)y^2_{n}(x)dx} - квадрат нормы \large y_{n}.

2) Построение функции Грина по фундаментальной системе решений соответствующего однородного уравнения (построение по 2 частным решениям).

\large G(x,s)=\frac{1}{p(x)W(x)}\left\{\begin{matrix} U_{1}(x)U_{2}(s), x\in [a,s),\\ U_{1}(s)U_{2}(x), x\in (s,b].\end{matrix}\right.

Здесь \large U_{1}(x), \large U_{2}(x)  - частные решения однородного уравнения, удовлетворяющие граничным условиям при \large x=a, \large x=b соответственно, \large W(x) -  вронскиан, вычисленный для системы функций \large U_{1}(x), \large U_{2}(x)\large p(x) - коэффициент при второй производной в задаче Штурма-Лиувилля.

Эта формула демонстрирует, в частности, симметричность функции Грина \large G(x,s)=G(s,x).

 

 

 

 

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: