Методы нахождения особых решений дифференциального уравнения

Рассмотрим 4 метода нахождения особых решений дифференциальных уравнений первого порядка. Все они являются необходимыми, но не достаточными, т.е для найденных функций нужно дополнительно проверить, что они являются решениями дифференциального уравнения и действительно особые, т.е. не содержатся в общем решении ни при каких значениях произвольных постоянных. В то же время гарантируется, что других особых решений, кроме определяемых данными методами, нет.

1. Особые решения уравнения в нормальной форме \large y'(x)=f(x,y(x)).

Особые решения этого уравнения содержатся в уравнении \large \frac{\partial f}{\partial y}=\infty.

2. Метод дискриминантных кривых.

Рассмотрим уравнение первого порядка общего вида \large F(x,y(x),y'(x))=0.

Особые решения являются решениями системы, состоящей из этого уравнения и условия \large \frac{\partial F}{\partial y'}=0. Исключая из этих уравнений \large y', получаем равенство \large \Phi(x,y)=0, определяющее дискриминантные кривые \large y_{1}(x),y_{2}(x)),.., среди которых содержатся особые решения.

3. Метод огибающей.

Пусть известен общий интеграл уравнения \large \Psi(x,y(x),C)=0. График особого решения всегда представляет собой огибающую семейства графиков функций общего решения. Для нахождения огибающей необходимо исключить произвольную постоянную \large C из системы

\large\begin{cases} & \ \Psi=0, \\ & \ \frac{\partial \Psi}{\partial C}=0. \end{cases}

Выражая из полученного выражения \large y(x), можно найти особые решения.

4. Исследование эквивалентности преобразований в процессе решения уравнения.

Если в процессе решения задачи производится деление обеих частей уравнения на некоторую функцию, то необходимо проверять, не дает ли приравнивание к нулю этой функции дополнительных решений уравнения и не являются ли они особыми.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: