Методы решения интегрального уравнения с вырожденным / симметричным ядром

1. Решение интегрального уравнения с вырожденным ядром

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, т.е. ядром

\large K(x,s)=\sum_{i=0}^{n}{\alpha_{i}(x)\beta_{i}(s)}, имеет вид

\large y(x)=f(x)+\lambda\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}(x)}\int_{a}^{b}{y(s)\beta_{i}(s)ds}.

Входящие в уравнение определенные интегралы являются константами, которые обозначим

\large C_{i}=\int_{a}^{b}{y(s)\beta_{i}(s)ds}. После их нахождения получим решение уравнения

\large y(x)=f(x)+\lambda\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}(x)}C_{i}.

Для нахождения постоянных \large C_{j}\large j=1,2,...n, умножим обе части исходного уравнения на \large\beta_{j}(x) и проинтегрируем по \large x в пределах от \large aдо \large b:

\large \int_{a}^{b}{y(x)\beta_{j}(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(x)\beta_{j}(x)dx}+\lambda\sum_{i=1}^{n}{C_{i}\int_{a}^{b}{\alpha_{i}(x)\beta_{j}(x)dx}}.

Все записанные интегралы также являются постоянными, и в результате приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно констант \large C_{1},C_{2},...,C_{n}:

\large\begin{cases} &{C_{1}=F_{1}+\lambda\sum_{i=1}^{n}{C_{i}\gamma_{i,1}},} \\ &{C_{2}=F_{2}+\lambda\sum_{i=1}^{n}{C_{i}\gamma_{i,2}},} \\ &...\\ &{C_{n}=F_{n}+\lambda\sum_{i=1}^{n}{C_{i}\gamma_{i,n}},} \end{cases}

где введены обозначения

\large F_{j}=\int_{a}^{b}{f(x)\beta_{j}(x)dx}\large \gamma_{i,j}=\int_{a}^{b}{\alpha_{i}(x)\beta_{j}(x)dx}.

В случае однородного интегрального уравнения, приравнивая определитель системы к нулю, можно найти собственные значения, а затем и собственные функции уравнения.

2. Решение интегрального уравнения с симметричным ядром

Используя свойство разложения симметричного ядра в билинейный ряд, интегральное уравнение Фредгольма второго рода можно представить в виде

\large y(x)=f(x)+\lambda\sum_{i}^{}{\int_{a}^{b}{y(s)\frac{y_{i}(x)y_{i}(s)}{\lambda_{i}}ds}},

где для удобства будем считать собственные функции нормированными: \large\left|\left|y_{i}(x)\right|\right|^{2}=1.

Вводя обозначения \large C_{i}=\int_{a}^{b}{y_{i}(s)y(s)ds}, перепишем уравнение как

\large y(x)=f(x)+\lambda\sum_{i}^{}{\frac{C_{i}}{\lambda_{i}}y_{i}(x)}.

После умножения обеих частей уравнения на \large y_{k}(x) и интегрирования по \large x, получим

\large C_{k}=F_{k}+\lambda\sum_{i}^{}{\frac{C_{i}}{\lambda_{i}}\int_{a}^{b}{y_{i}(x)y_{k}(x)dx}},

где \large F_{k}=\int_{a}^{b}{f(x)y_{k}(x)dx}.

В силу условия ортогональности и нормированности собственных функций интеграл равен дельта-символу Кронекера \large \delta _{nm}, и сумма имеет только одно отличное от нуля слагаемое при \large i=k:

\large C_{k}=F_{k}+\lambda\frac{C_{k}}{\lambda_{k}},

откуда \large C_{k}=\frac{F_{k}\lambda_{k}}{\lambda_{k}-\lambda}.

Подстановка найденных значений \large C_{i} приводит к окончательному решению задачи

\large y(x)=f(x)+\lambda\sum_{i}^{}{\frac{F_{i}}{\lambda_{i}-\lambda}y_{i}(x)}

или

\large y(x)=f(x)+\lambda\int_{a}^{b}{f(s)\sum_{i}^{}{\frac{y_{i}(x)y_{i}(s)}{\lambda_{i}-\lambda}}ds}.

Такая форма решение демонстрирует необходимость условия \large\lambda\neq\lambda_{i} для существования решения неоднородного уравнения.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: