Понятие устойчивости по Ляпунову

Проблему устойчивости рассмотрим для решения задачи Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме

\large y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y'(x),...,y^{(n-1)}(x))\large y(0)=y_{0}\large y'(0)=y_{1},..., \large y^{(n-1)}(0)=y_{n-1},

в которой начальные условия искажены \large y_{k}\Rightarrow \tilde {y}_ {k}, и, соответственно, решение задачи, зависящее от начальных условий, также отличается \large y(x,y_{0},y_{1},...,y_{n-1})\Rightarrow \tilde{y}(x, \tilde {y}_ {0},\tilde {y}_ {1},...,\tilde{y}_ {n-1}).

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого заданного \large\varepsilon data-recalc-dims=0" /> найдется такое \large\delta  data-recalc-dims=0" />, что при выполнении условия \large\sum_{k=0}^{n-1}{\left|\tilde {y}_ {k}-y_{k}\right|}<\delta имеет место неравенство

\large\sum_{k=0}^{n-1}{\left|\tilde{y}^{(k)}(x, \tilde {y}_ {0},\tilde {y}_ {1},...,\tilde{y}_ {n-1})-y^{(k)}(x,y_ {0},y_{1},...,y_{n-1})\right|}<\varepsilon

для всех значений \large x из рассматриваемого интервала.

Это условие означает, что если суммарное искажение начальных условий ограничено, то и суммарное отличие искаженного и точного решений, а также их производных, тоже ограничено.

 Если условие не выполняется, то решение называется неустойчивым.

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и дополнительно выполняется условие

\large\sum_{k=0}^{n-1}{\left|\tilde{y}^{(k)}(x,\tilde{y}_ {0},\tilde{y}_ {1},...,\tilde{y}_ {n-1})-y^{(k)}(x,y_ {0},y_{1},...,y_{n-1})\right|\rightarrow 0}

при \large x\rightarrow \infty,

т.е. при увеличении аргумента (например, времени) погрешность решения стремится к нулю.

Исследование решения на устойчивость необходимо потому, что при любой постановке задачи, решении задачи (часто приближенном) с использованием экспериментальных данных происходит неизбежное накапливание погрешности, и практически важные решения должны слабо зависеть от этой погрешности.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: