Суть метода неопределенных коэффициентов и условия его применимости

Метод неопределенных  коэффициентов используется для поиска частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Он применим, в отличие от метода вариации произвольных постоянных Лагранжа, только при определенном виде правой части уравнения:

1)  \large f(x)=P_{n}(x)e^{\alpha x}, где \large P_{n}(x)-полином \large n-ой степени.

Тогда частное решение ищется в виде \large y(x)=x^{s}e^{\alpha x}Q_{n}(x), где \large Q_{n}=a+bx+cx^{2}+...+zx^{n}-полином той же степени с неопределенными коэффициентами \large a, b, c..., параметр \large sопределяется из условия совпадения \large \alpha с корнями  характеристического уравнения. Если  \large \alpha=k_{i}, то \large s равен кратности корня \large k_{i}, в противном случае \large s=0.

2) \large f(x)=e^{\alpha x}(P_{n}(x)sin\beta x+Q_{m}cos\beta x).

Частное решение ищется в виде \large y(x)=x^{s}e^{\alpha x}(R_{l}(x)sin\beta x+T_{l}(x)cos\beta x), где порядок искомых полиномов \large R_{l}(x),T_{l}(x) с неопределенными коэффициентами задается условием \large l=max(n,m), параметр \large sравен кратности корня характеристического уравнения \large k_{i} в случае его совпадения со значением \large \alpha+i\beta и нулю в противном случае.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: