Суть метода последовательных приближений и условия его применимости

Метод последовательных приближений является одним из наиболее универсальных методов решения интегральных уравнений (и не только их). Изложим его для линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода

\large y(x)=f(x)+\lambda \int_{a}^{b}{y(s)K(x,s)ds}.

На каждом этапе вместо неизвестной функции \large y(s) последовательно подставляется в интеграл предыдущее приближение \large y_{n}(s), в результате чего находится последующее приближение \large y_{n+1}(s):

\large y_{n+1}(x)=f(x)+\lambda \int_{a}^{b}{y_{n}(x)K(x,s)ds}.

В случае достаточно малого значения параметра \large\lambda предел последовательности приближений стремится к точному решению: \large y(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}(x).

В такой постановке метод может применяться также и к нелинейным уравнениям.

В случае линейного уравнения второго рода существует более удобная модификация метода последовательных приближений. Сначала вычисляются повторные (итерированные) ядра с помощью рекуррентного соотношения

\large K_{n+1}(x,s)=\int_{a}^{b}{K_{n}(x,t)K(t,s)dt} (для уравнения Фредгольма),

\large K_{n+1}(x,s)=\int_{s}^{x}{K_{n}(x,t)K(t,s)dt} (для уравнения Вольтерра),

где \large K_{1}(x,s)=K(x,s) - ядро исходного уравнения.

Далее находится резольвента как результат суммирования ряда Неймана

\large R(x,s,\lambda )=\sum_{n=0}^{\infty}{\lambda^{n}K_{n+1}(x,s)},

после чего решение имеет вид

\large y(x)=f(x)+\lambda \int_{a}^{b}{f(s)R(x,s,\lambda )ds} (для уравнения Вольтерра, естественно, верхний предел \large x).

Необходимым ограничением применимости метода для уравнения Фредгольма является условие

\large \begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}<\frac{1}{B}, где

\large B^{2}=\int_{a}^{b}{\int_{a}^{b}{\begin{vmatrix} K(x,s) \end{vmatrix}}^{2}dxds}.

Для уравнения Вольтерра таких ограничений нет.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: