Случаи понижения порядка дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение  \large n-го порядка может быть представлено в общем виде как

\large F(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x))=0, где \large F - известная функция.

Порядок уравнения удается понизить  в следующих случаях:

1)Если отсутствует в явном виде искомая функция \large y(x)  и, возможно, несколько ее первых производных \large y(x),y'(x),...,y^{(k-1)}(x), т.е. уравнение имеет вид

\large F(x,y^{(k)},y^{(k+1)},...,y^{(n)})=0.

Тогда заменой \large y^{(k)}=z(x) порядок уравнения понижается на \large k единиц:

\large F(x,z(x),z'(x),...,z^{(n-k)}(x))=0.

В случае разрешимости этого уравнения искомая функция \large y(x) находится \large k-кратным интегрированием.

2)Если отсутствует в явном виде независимая переменная, т.е. уравнение является автономным:

\large F(y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x))=0,

то за новую независимую переменную принимают  \large y, а первую производную считают новой искомой функцией, замена имеет вид \large y'=p(y). Выражая последовательно  все производные,  \large y''=\frac{d}{dx}y'(x)=\frac{d}{dy}p(y)\frac{dy}{dx}=p'(y)p(y) и т.д.

мы понижаем порядок уравнения на 1:

\large F(y,p(y),p'(y),...,p^{(n-1)}(y))=0.

После получения решения \large p(y) необходимо вернуться к первоначальной функции путем решения уравнения первого порядка, которое обычно сводится к случаю разделения переменных.

3)Если левая часть уравнения представляет собой производную от некоторой функции \large\Phi

\large F(x,y(x),y'(x),...,y^{(n)}(x))=\frac{d}{dx}\Phi(x,y(x),y'(x),...,y^{(n-1)}(x)) =0,

то порядок уравнения понижается на 1:

\large \Phi(x,y(x),y'(x),...,y^{(n-1)}(x)) =C_{1}.

Такое уравнение часто называют первым интегралом исходного.

Понижение порядка является одним из наиболее универсальных методов решения дифференциальных уравнений \large n-го порядка, в том числе нелинейных.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: