Свойства собственных значений и собственных функций симметричного ядра

Свойства собственных значений и собственных функций симметричного ядра в многом аналогичны соответствующим свойствам для задачи Штурма-Лиувилля:

1. Количество собственных значений симметричного ядра.

У всякого непрерывного симметричного ядра имеется по крайней мере одно собственное значение.

Симметричное ядро, являющееся одновременно вырожденным, имеет конечное число собственных значений.

Если симметричное ядро не является вырожденным, то оно имеет бесконечное число собственных значений.

2. Собственные значения симметричного ядра действительны.

3. Собственные функции, отвечающие различным собственным значением, ортогональны на отрезке интегрирования

\large \int_{a}^{b}{y_{n}(x)y_{m}(x)dx}=\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}\delta _{nm}, где

\large \delta _{nm}=\begin{cases} & \text{0, } n\neq m \\ & \text{1, } n=m \end{cases} - дельта-символ Кронекера,

\large\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}=\int_{a}^{b}{y^2_{n}(x)dx} - квадрат нормы собственной функции.

4. Симметричное, непрерывное в основном квадрате ядро разлагается в билинейный ряд по своим собственным функциям при условии, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

\large K(x,s)=\sum_{n}^{}{\frac{y_{n}(x)y_{n}(s)}{\lambda_{n}\left|\left|y_{n}(x)\right|\right|^{2}}}.

Эти свойства положены в основу метода решения интегрального уравнения Фредгольма с симметричным ядром.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: