Типы точек покоя

Исследование решения дифференциального уравнения вблизи точек покоя является одним из этапов качественной теории автономных уравнений, т.е. дифференциальных уравнений, в которых явно не содержится аргумент (время).

Рассмотрим автономное  уравнение второго порядка \large y''(t)=f(y(t),y'(t)). Это уравнение относится к случаям понижения порядка: при замене \large y'=z(y) оно переходит к уравнению первого порядка

\large y'=\frac{P(y,z)}{Q(y,z)}, где \large P(y,z)=f(y,z), \large Q(y,z)=z. График решения полученного уравнения называется фазовой траекторией.

При невозможности точного решения этого уравнения исследуют поведение решения вблизи точек покоя - точек \large (y_{i},z_{i}), удовлетворяющих системе уравнений

\large\begin{cases} & \text{P(y,z)=0,}\\ & \text{Q(y,z)=0.} \end{cases}

В окрестности такой точки уравнение можно линеаризовать - привести к виду

\large y'=-\frac{pz+qy}{z},

который соответствует линейному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами

\large y''(t)+py'(t)+qy(t)=0,

решение которого всегда легко получить.

В зависимости от соотношения между коэффициентами \large p,q выделяют следующие типы точек покоя:

1. Центр \large (p=0,q data-recalc-dims=0)" />.1

Фазовые траектории удовлетворяют уравнению эллипса  \large (\frac{z}{a})^{2}+(\frac{y}{b})^{2}=1, где коэффициенты \large a,b содержат произвольную постоянную \large C, образуя семейство.

Такой картине фазовых траекторий соответствует общее решение \large y(t)=C_{1}cos\sqrt{q}t+C_{2}sin\sqrt{q}t,

описывающее гармонические колебания. Данная точка покоя является устойчивой, но не асимптотически устойчивой.

2. Седло \large (p=0,q<0).3

Фазовые траектории удовлетворяют уравнению гиперболы

\large (\frac{z}{a})^{2}-(\frac{y}{b})^{2}=1.

Такой картине фазовых траекторий соответствует общее решение \large y(t)=C_{1}e^{\sqrt{\left| q\right|}t}+C_{2}e^{-\sqrt{\left| q\right|}t},

реализующее сигнал, неограниченно возрастающий при \large t\rightarrow \pm\infty. Данная точка покоя является неустойчивой.

3. Фокусы \large (p\neq 0,q data-recalc-dims=(\frac{p}{2})^{2}" />.

Фазовые траектории описываются уравнением спирали в полярной системе координат \large\varrho=Ce^{-\frac{a}{b}\varphi},

где \large a=-\frac{p}{2}, \large b=\sqrt{q-(\frac{p}{2})^{2}},

\large\varrho=\sqrt{(z-ay)^{2}+(by)^{2}}, \large\varphi=arctg\frac{z-ay}{by}.

Такой картине фазовых траекторий соответствует общее решение \large y(t)=e^{at}(C_{1}cos bt+C_{2}sin bt),

реализующее затухающее (при \large p data-recalc-dims=0" />) или возрастающее (при \large p<0) гармоническое колебание. Такие точки называются устойчивым и неустойчивым фокусами соответственно.

546

4. Узлы \large (p\neq 0,q<(\frac{p}{2})^{2}).

Фазовые траектории описываются уравнением парабол

\large\frac{(z-k_{1}y)^{k_{1}}}{(z-k_{2}y)^{k_{2}}}=C ,

где \large k_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^{2}-q} - корни характеристического уравнения.

Такой картине фазовых траекторий соответствует общее решение \large y(t)=C_{1}e^{k_{1}t}+C_{2}e^{k_{2}t},

реализующее неосциллирующий процесс.  Сигнал будет убывать при \large t\rightarrow \infty при \large p data-recalc-dims=0" /> и возрастать при \large p<0. Такие точки называются устойчивым и неустойчивым узлами соответственно.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: