Уравнение Эйлера и метод его решения

Уравнение Эйлера - это дифференциальное уравнение вида

\large x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+...+a_{1}xy^{'}(x)+a_{0}y(x)=f(x).

Для решения однородного уравнения Эйлера существуют два метода.

Первый (универсальный) состоит в замене аргумента \large x=e^{t}. При такой замене уравнение Эйлера переходит в уравнение с постоянными коэффициентами

\large y^{(n)}(t)+b_{n-1}y^{(n-1)}(t)+...+b_{1}y^{'}(t)+b_{0}y(t)=0,

которое решается методом Эйлера. Возвращаясь к исходному аргументу, получаем решение уравнения Эйлера.

Иногда проще найти частные решения однородного уравнения Эйлера заменой искомой функции \large y(x)=x^{k}.  После подстановки в уравнение и сокращения на \large x^{k} получаем алгебраическое уравнение  для нахождения параметра  \large k. Найти n линейно независимых частных решений этим методом удается не всегда.

Неоднородное уравнение Эйлера при известном общем решении соответствующего однородного уравнения решается методом вариации произвольных постоянных Лагранжа.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: