Условия устойчивости решения дифференциального уравнения

Для установления устойчивости часто используется исследования решения по первому приближению. Оно состоит в приближенном приведении исходного уравнения к линейному уравнению с постоянными коэффициентами для функции вариации \large z(x)=\tilde{y}(x,\tilde{y}_{0},\tilde{y}_{1},...,\tilde{y}_{n-1})-y(x,y_{0},y_{1},...,y_{n-1}):

\large z^{(n)}(x)+a_{n-1}z^{(n-1)}(x)+...+a_{1}z^{'}(x)+a_{0}z(x)=0.

Решение этого уравнения легко найти с помощью метода Эйлера. Можно утверждать, что решение  будет устойчивым (и даже асимптотически устойчивым), если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть . Если же хотя бы один из корней обладает положительной действительной частью, то решение исходного уравнения будет неустойчивым.

Необходимым условием отрицательности корней является требование положительности всех коэффициентов \large a_{k}. Дополнительным условием является критерий Рауса-Гурвица, заключающийся в требовании положительности определителей \large D_{k},k=1,...n, которые записываются следующим образом:

первым элементом является \large a_{n-1};

последующие элементы первого столбца представляют собой коэффициенты с уменьшением индекса "через один" - \large a_{n-3}\large a_{n-5} и т.д.;

в каждой строке коэффициенты с возрастающими индексами (\large a_{n}=1);

если требуемые коэффициенты отсутствуют, то они заменяются нулями.

Например,

\large D_{1}=a_{n-1}\large D_{2}=\begin{vmatrix} a_{n-1} &1 \\ a_{n-3} & a_{n-2} \end{vmatrix},

\large D_{3}=\begin{vmatrix} a_{n-1} &1 &0\\ a_{n-3} & a_{n-2}&a_{n-1} \\ a_{n-5} & a_{n-4}&a_{n-3} \end{vmatrix}.

Комментарии к записи Условия устойчивости решения дифференциального уравнения отключены

Комментарии закрыты.

%d bloggers like this: