Уравнение в свертках и метод его решения

Интегральным уравнением в свертках (другое название -  уравнение разностного типа) называется уравнение, содержащее интеграл свертки в смысле какого-либо интегрального преобразования.

Выделяют следующие уравнения в свертках в смысле преобразования Фурье:

1) Уравнение Фредгольма первого рода \large\int_{-\infty}^{\infty}{y(s)k(x-s)ds}=f(x).

Применение прямого преобразования с использованием теоремы о свертке приводит к алгебраическому уравнению для изображений

\large Y(\alpha)K(\alpha)=F(\alpha),

откуда после применения обратного преобразования Фурье получаем решение

\large y(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{F(\alpha)}{K(\alpha)}e^{-i\alpha x}d\alpha}.

Как и любое уравнение Фредгольма первого рода, это уравнение представляет собой некорректную задачу, поэтому при его решении необходимо применять процедуру регуляризации.

2) Уравнение Фредгольма второго рода \large y(x)=f(x)+\int_{-\infty}^{\infty}{y(s)k(x-s)ds}.

Тот же метод решения приводит результату

\large y(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{F(\alpha)}{1-K(\alpha)}e^{-i\alpha x}d\alpha}.

Это уравнение является корректной задачей и регуляризации обычно не требует.

Уравнения Вольтерра типа свертки требуют применения преобразования Лапласа:

1) Уравнение первого рода \large\int_{0}^{t}{y(s)k(t-s)ds}=f(t) имеет решение

\large y(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma - i\infty }^{\sigma + i\infty }{\frac{F(p)}{K(p)}e ^{pt}dp}.

2) Уравнение второго рода \large y(t)=f(t)+\int_{0}^{t}{y(s)k(t-s)ds} имеет решение

\large y(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma - i\infty }^{\sigma + i\infty }{\frac{F(p)}{1-K(p)}e ^{pt}dp}.

Обратное преобразование Лапласа обычно удается вычислить с помощью теории вычетов.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: