В чем состоит метод Эйлера

Метод Эйлера используется для решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами \large n-ого порядка:

\large y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+...+a_{1}y^{'}(x)+a_{0}y(x)=0.

Делая замену искомой функции:

\large y(x)=e^{kx},

приходим к следующему виду уравнения:

\large k^{n}+a_{n-1}k^{n-1}+...+a_{1}k+a_{0}=0,

которое называется характеристическим. Это уравнение имеет n корней, включая комплексные и кратные. В зависимости от ситуации частные решения дифференциального уравнения имеют различный вид:

1) корни действительные и различные \large k_{1},k_{2},...

\large y_{1}(x)=e^{k_{1}x}, \large y_{2}(x)=e^{k_{2}x},...

2) корни комплексные и взаимно сопряженные \large k_{1,2}=\alpha\pm i\beta

\large y_{1}(x)=e^{\alpha x}sin(\beta x)\large y_{2}(x)=e^{\alpha x}cos(\beta x).

3) корни кратные \large k_{1}=k_{2}=k_{3}=k

\large y_{1}(x)=e^{kx}, \large y_{2}(x)=xe^{kx}\large y_{3}(x)=x^{2}e^{kx}.

Общее решение имеет вид линейной комбинации всех частных решений

\large y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+...+C_{n}y_{n}(x).

 

В теории дифференциальных уравнений известен также метод ломаных Эйлера. Он используется для численного решения задачи Коши для уравнения первого порядка \large y'(x)=f(x,y(x)), y(x_{0})=y_{0}.

Интервал изменения аргумента разбивается на n участков, и на каждом искомая функция заменяется линейной

\large y(x_{k+1})=y(x_{k})+f(x_{k},y(x_{k}))(x_{k+1}-x_{k}).

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: