В чем состоит метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа используется для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

\large a_{n}(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+...+a_{1}(x)y^{'}(x)+a_{0}(x)y(x)=f(x),

в случае, если известно решение соответствующего однородного уравнения

\large y_{0}(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+...+C_{n}y_{n}(x).

Согласно этому методу, общее решение неоднородного уравнения ищется в виде, подобном решению однородного, но с новыми неизвестными функциями \large C_{i}(x):

\large y(x)=C_{1}(x)y_{1}(x)+C_{2}(x)y_{2}(x)+...+C_{n}(x)y_{n}(x).

Эти функции находятся из системы уравнений

\large \begin{cases} &{C_{1}^{'}(x)y_{1}(x)+C_{2}^{'}(x)y_{2}(x)+...+C_{n}^{'}(x)y_{n}(x)=0,} \\ &{C_{1}^{'}(x)y_{1}^{'}(x)+C_{2}^{'}(x)y_{2}^{'}(x)+...+C_{n}^{'}(x)y_{n}^{'}(x)=0,} \\ &...\\ &{C_{1}^{'}(x)y_{1}^{(n-1)}(x)+C_{2}^{'}(x)y_{2}^{(n-1)}(x)+...+C_{n}^{'}(x)y_{n}^{(n-1)}(x)=f(x),} \end{cases}

из которой находим все \large C_{i}^{'}(x), а затем с помощью интегрирования \large C_{i}(x)\large i=1,2,...,n.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: