В чем заключается краевая задача Штурма-Лиувилля

Краевой называется задача решения дифференциального уравнения при заданных граничных  условиях. Граничные условия представляют собой задание значений функции и/или ее производных в разных точках, обычно в концевых точках  интервала изменения аргумента (в отличие от начальных условий задачи Коши). Общий вид граничных условий:

\large \left.\begin{matrix} \alpha _{1}y(x)+\beta _{1}y'(x) \end{matrix}\right|_{x=a}=0 ,

\large \left.\begin{matrix} \alpha _{2}y(x)+\beta _{2}y'(x) \end{matrix}\right|_{x=b}=0 .

При теоретическом рассмотрении произвольное дифференциальное уравнение приводят к определенному виду, рассматривая задачу Штурма-Лиувилля.

Задачей Штурма-Лиувилля называется краевая задача вида

\large \frac{d}{dx}(p(x)\frac{dy(x)}{dx})-q(x)y(x)+\lambda r(x)y(x)=f(x)

при заданных граничных условиях.

Функция  \large r(x) называется весовой функцией, \large \lambda - произвольный числовой параметр.

В отличие от задачи Коши, которая имеет единственное решение, с вопросами существования и единственности решения краевой задачи дело обстоит значительно сложнее.

Однородная задача Штурма-Лиувилля \large (f(x)=0) всегда имеет тривиальное решение \large y(x)=0. Нетривиальные решения существуют лишь при некоторых значениях параметра \large \lambda, которые называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения - собственными функциями.

Неоднородная задача Штурма-Лиувилля при \large \lambda, не совпадающими с собственными значениями, имеет единственное решение. При собственных значениях решения задача, вообще говоря, не существует, хотя при определенных правых частях \large f(x) решение может существовать и не одно.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: