Гамма-функция. Определение и свойства.

Гамма-функция является обобщением факториала на случай произвольного комплексного аргумента
\large \Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{z-1}dt}.
Свойства:
1) \large \Gamma (z) аналитична в области \large Re z data-recalc-dims= 0" /> и имеет полюсы первого порядка при \large z=-n, где \large n=0,1,2,...\large \Gamma (z) ни в одной точке не обращается в нуль.
2) \large \Gamma (z+1)=z\Gamma (z) (основное свойство гамма-функции).
3) \large \Gamma (z)\Gamma (1-z)=\frac{\pi}{sin \pi z} (формула дополнения), \large \Gamma (1/2)=\sqrt{\pi}.
4) \large \Gamma (2z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}2^{2z-1/2}\Gamma (z)\Gamma (z+1/2) (формула удвоения).
5) При больших значениях аргумента \large z\rightarrow \infty
\large \Gamma (z+1) \approx z^{z} e^{-z}\sqrt{2 \pi z } (формула Стирлинга).
6) Бета-функция \large B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}=\int_{0}^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}}dt.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: