Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции

Рассмотрим отображение малой окрестности некоторой точки \large z_{0} с помощью функции \large w=f(z) (если эта функция однозначна, аналитична и \large f'(z_{0})\neq 0, то отображение будет конформным). Малому приращению независимой переменной \large \Delta z=z-z_{0} соответствует малое приращение функции \large \Delta w=w-w_{0}\approx f'(z_{0})(z-z_{0}). Представим все множители в показательной форме записи

\large \left| \Delta w\right|e^{iArg(\Delta w)} \approx \left|f'(z_{0})\right|e^{iArg(f'(z_{0}))}\left| \Delta z\right|e^{iArg(\Delta z)}, откуда

\large \left| \Delta w\right|\approx \left|f'(z_{0})\right|\left| \Delta z\right|,

т.е. модуль производной является коэффициентом растяжения области в окрестности выбранной точки,

\large Arg(\Delta w) \approx Arg(\Delta z+f'(z_{0})),

т.е. аргумент производной определяет угол поворота области как целого в окрестности выбранной точки.

Поскольку при отображении для каждой точки характерны свои коэффициенты растяжения и поворота, то результирующая область может существенно отличаться от исходной.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: