Интеграл в смысле главного значения по Коши

Рассмотрим контурный интеграл от функции\large f(z), которая в некоторой точке \large z_{0} обращается в бесконечность. Тогда для вычисления интеграла исходный контур \large C разобьем на участки \large C_{1} и \large C_{2} до и после точки \large z_{0}, на которых функция \large f(z) принимает конечное значение и малые участки \large \gamma _{1} и \large \gamma _{2} вблизи \large z_{0}. Устремим длины участков \large \gamma _{1} и \large \gamma _{2} к нулю:

\large \int_{C}^{}{}f(z)dz=\lim_{\gamma _{1}\rightarrow 0}\int_{C_{1}+\gamma _{1}}^{}{}f(z)dz+\lim_{\gamma _{2}\rightarrow 0}\int_{C_{2}+\gamma _{2}}^{}{}f(z)dz.

Если  значение интеграла не зависит от способа предельного перехода, получаем классическое определение несобственного интеграла.

Если же значение интеграла зависит от взаимной скорости стремления \large \gamma _{1}\rightarrow 0  и \large \gamma _{2}\rightarrow 0, т.е. несобственный интеграл расходится, то рассматривают частный случай, когда \large \gamma _{1}=\gamma _{2}=\gamma \rightarrow 0 , который называется главным значением несобственного интеграла  по Коши  и обозначается символом v.p. (первые буквы слов "valeur principale", означающих по-французски "главное значение")

\large v.p.\int_{C}^{}{}f(z)dz=\lim_{\gamma \rightarrow 0}\left[\int_{C_{1}+\gamma}^{}{}f(z)dz+\int_{C_{2}+\gamma }^{}{}f(z)dz\right].

Любой сходящийся несобственный интеграл существует и в смысле главного значения по Коши, и их значения совпадают. Обратное утверждение неверно.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: