Классификация особых точек с примерами.

Особыми называются точки в которых функция не является аналитической. Выделяют три типа  изолированных особых точек однозначного характера: устранимые особые точки, особые точки типа полюс, существенно особые точки. Существует два эквивалентных способа определения типа особой точки: по величине предела функции в этой точке и по количеству членов главной части разложения Лорана в окрестности этой точки.

Устранимая особая точка - точка, в которой функция не определена , но существует

\large\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=A, где \large A - любое конечное число. Члены главной части ряда Лорана в окрестности этой точки отсутствуют.

Пример: для функции \large f(z)=\frac{1-cosz}{z^2} точка \large z=0 является устранимой, поскольку предел, вычисляемый по правилу Лопиталя, конечен.

\large\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1-cosz}{z^2}=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{sinz}{2z}=\frac{1}{2}.

Полюс порядка \large n

\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=\infty. Для определения порядка полюса необходимо в окрестности точки представить функцию в виде \large f(z)\approx\frac{A}{{(z-z_{0})}^n}, \large A \neq 0 . Главная часть ряда Лорана содержит слагаемые со степенями, не меньшими \large-n.

Пример: для функции \large f(z)=\frac{z^{2}+1}{z^{3}(z^{2}-1)} точка \large z=0 является полюсом 3-го порядка, точки \large z=1 и \large z=-1 являются полюсами 1-го порядка.

Существенно особая точка

\large\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z) не существует, т.е. при стремлении \large z\rightarrow z_{0} по различным направлениям предел принимает различные значения. Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов.

Пример: для функции \large f(z)=e^{\frac{1}{z}} точка \large z=0 является существенно особой, поскольку пределы слева и справа не совпадают:

\large\lim_{z\rightarrow 0-0}e^{\frac{1}{z}}=e^{-\infty}=0,

\large\lim_{z\rightarrow 0+0}e^{\frac{1}{z}}=e^{\infty}=\infty.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: