Найти спектральную плотность прямоугольного импульса длительностью T

Пусть прямоугольный импульс определен условием \large f(t)=\begin{cases} & 0, t<0, \\ & 1, 0<t<T, \\ & 0, t data-recalc-dims=T. \end{cases}" />

Применяя прямое преобразование Фурье, получаем

\large F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty }{f(t)e^{i\omega t}dt}=\int_{0}^{T }{e^{i\omega t}dt}=\frac{1}{i\omega }(e^{i\omega T}-1).

Вычислим обратное преобразование Фурье от полученной спектральной плотности:

\large f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty }{\frac{1}{\omega }(e^{-i\omega (t-T)}-e^{-i\omega t})d\omega}.

Используем свойства интеграла от четной и нечетной функций в симметричных пределах, приводя интеграл к виду

\large f(t)=-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty }{\frac{sin\omega (t-T)-sin\omega t}{\omega }d\omega}.

Получившийся несобственный интеграл часто встречается в анализе и известен как интеграл Дирихле:

\large \int_{0}^{\infty }{\frac{sin\omega\tau}{\omega }d\omega}=\frac{\pi}{2}sgn(\tau),

где \large sgn(\tau)=\begin{cases} & -1, \tau<0, \\ & 0, \tau=0, \\ & 1, \tau data-recalc-dims=0 \end{cases}" />- знаковая функция.

Его значение, например, можно вычислить с помощью теории вычетов.

Подставляя значения интегралов, находим

\large f(t)=-\frac{1}{2}(sgn(t-T)-sgn(t))=-\frac{1}{2}\begin{cases} & 0, t<0, \\ & -2, 0<t<T, \\ & 0, t data-recalc-dims=T, \end{cases}" />

что полностью эквивалентно исходному представлению импульса.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: