Основные идеи метода перевала

Метод перевала применяется для приближенного вычисления интегралов вида:
\large I=\int_{\Gamma }^{ }{\phi (z)e ^{\lambda f(z)}dz}, где \large \phi (z)\large f(z) - некоторые аналитические функции, \large \lambda - большой числовой параметр, а контур \large \Gamma может быть бесконечным.

Основная идея этого метода состоит в использовании свойства независимости значения интеграла от вида контура интегрирования (интегральная теорема Коши) и деформации исходного контура \large \Gamma в контур, на котором подынтегральная функция меняется наиболее быстро. Тогда при вычислении можно ограничиться малым участком контура и заменить подынтегральную функцию более простой, что и приводит к приближенному значению интеграла.

Алгоритм применения метода перевала состоит из нескольких этапов:seddle_point

1. Нахождение точек перевала (или седловых точек),

т.е. таких значений \large z_{0}, при которых \large f'(z_{0})=0. В окрестности таких точек поверхность, образованная графиком функции, напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом.

2. Замена функции \large \phi (z)\large f(z) в окрестности точки перевала разложением в ряд Тейлора

\large \phi (z)\approx\phi (z_{0})\large f(z)\approx f(z_{0})+\frac{1}{2}f''(z_{0})(z-z_{0})^{2},

поскольку \large f'(z_{0})=0.

3. Выбор контура наибыстрейшего спуска.

Аналитическая функция обладает свойством ортогональности линий уровня ее действительной и мнимой частей. Отсюда следует, что в направлении наиболее быстрого изменения действительной части \large f(z) ее мнимая часть постоянна \large Im f(z)=Im f(z_{0}). Таким образом, контур наибыстрейшего спуска определяется из условия, чтобы на этом контуре второе слагаемое разложения \large f(z) было действительным и отрицательным (тогда в точке  \large z_{0} \large Re f(z) будет иметь максимум).

Представим комплексные множители \large f''(z_{0})\large z-z_{0} в показательной форме записи: \large f''(z_{0})=Ae^{i\alpha}\large z-z_{0}=\rho e^{i\varphi}. Тогда слагаемое

\large \frac{1}{2}f''(z_{0})(z-z_{0})^{2}=\frac{1}{2}A\rho^{2}e^{i(\alpha+2\varphi)} будет отрицательным при условии \large \alpha+2\varphi=\pi, откуда \large\varphi=\frac{1}{2}(\pi-\alpha).

Поскольку экспоненциальный множитель на линии наибыстрейшего спуска при большом \large \lambda быстро убывает, можем ограничиться малым участком контура .

4. Вычисление интеграла.

Перейдем к переменной интегрирования \large\rho\large dz=d\rho e^{i\varphi}=d\rho e^{\frac{i}{2}(\pi-\alpha)}.

\large I\approx \phi (z_{0})e ^{\lambda f(z_{0})}e^{\frac{i}{2}(\pi-\alpha)}\int_{-\delta}^{ \delta}{e ^{-\frac{1}{2}\lambda A\rho^{2}}d\rho},

где величина \large \delta\approx\lambda^{-\varepsilon}, \large \varepsilon\in\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right).

Поскольку подынтегральная функция быстро убывает, пределы интеграла можно "раздвинуть", переходя к интегралу Пуассона

\large \int_{-\infty}^{\infty}{e ^{-\frac{1}{2}\lambda A\rho^{2}}d\rho}=\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda A}}.

Окончательно получаем

\large I\approx\phi (z_{0})e ^{\lambda f(z_{0})}e^{\frac{i}{2}(\pi-\alpha)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda A}}

или в исходных обозначениях

\large I\approx\phi (z_{0})e ^{\lambda f(z_{0})}\sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda f''(z_{0}) }}.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: