Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана

Понятие аналитической функции и условия Коши-Римана.

Функция \ w=f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в этой точке и в ближайшей ее окрестности. Можно доказать, что при выполнении этих условий функция будет дифференцируемой бесконечное число раз. Функция, аналитичная во всех точках области, называется аналитической в области.

Для проверки аналитичности используются

условия Коши-Римана:
\large \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},

\large \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},

где \ x, y; u, v-действительные и мнимые части аргумента и самой функции соответственно, т.е. \ z=x+iy, \ w=u+iv.

Комментарии (2)

Ответов (2) на “Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана”

  1. Макосиньо Апрель 27, 2015 в 5:42 пп #

    Получается же, что аналитическая функция есть функция дифференцируемая. Зачем нужно было вводить новое определение, усложняя жизнь?

    • Дмитрий Лосев
      Дмитрий Лосев Апрель 29, 2015 в 12:08 пп #

      Аналитичность функции - более жесткое условие, чем простая дифференцируемость. В частности, известно, что аналитическая функция дифференцируема бесконечное число раз. Отсюда следует, что задав функцию на сколь угодно малом, но конечном участке, тем самым задаешь ее значение в любой, сколь угодно удаленной, точке (принцип аналитического продолжения). С этой точки зрения, любая, описывающая реальную физическую зависимость функция не является аналитической при всех значениях аргумента. Но удобство работы и интересные свойства аналитических функций заставляют рассматривать такие "идеализированные" функции.

Оставить ответ

%d bloggers like this: