Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана
Понятие аналитической функции и условия Коши-Римана.
Функция 
называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в этой точке и в ближайшей ее окрестности. Можно доказать, что при выполнении этих условий функция будет дифференцируемой бесконечное число раз. Функция, аналитичная во всех точках области, называется аналитической в области.
Для проверки аналитичности используются
условия Коши-Римана:
,
,
где 
-действительные и мнимые части аргумента и самой функции соответственно, т.е. 
, 
.
Получается же, что аналитическая функция есть функция дифференцируемая. Зачем нужно было вводить новое определение, усложняя жизнь?
Аналитичность функции - более жесткое условие, чем простая дифференцируемость. В частности, известно, что аналитическая функция дифференцируема бесконечное число раз. Отсюда следует, что задав функцию на сколь угодно малом, но конечном участке, тем самым задаешь ее значение в любой, сколь угодно удаленной, точке (принцип аналитического продолжения). С этой точки зрения, любая, описывающая реальную физическую зависимость функция не является аналитической при всех значениях аргумента. Но удобство работы и интересные свойства аналитических функций заставляют рассматривать такие "идеализированные" функции.