Свойства аналитической функции

Свойства аналитической функции \large w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

1.) Сумма, разность, произведение, частное аналитических функций (если знаменатель не обращается нуль) являются аналитическими функциями.

2.) Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями. Гармонической называется функция, имеющая непрерывные производные второго порядка и удовлетворяющая дифференциальному уравнению Лапласа.

\large \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0

\large \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=0

3.) Линии уровня \large \begin{cases} & \text{ } u(x,y)=const \\ & \text{ } v(x,y)=const \end{cases} взаимно ортогональны.

4.) Если функции \large f(z) и \large F(z) аналитичны, то сложная функция \large \Phi(z)=F(f(z)) также аналитична, а ее производная вычисляется по обычной формуле \large \Phi'(z)=F'(f(z))f'(z).

5.) Если \large w=f(z) аналитична, и \large f'(z)\neq 0, то обратная функция \large z=\Phi(w) также будет аналитичной, а ее производная находится как \large \Phi'(w)=\frac{1}{f'(z)}.

6.) Действительная и мнимая части аналитической функции жестко связаны между собой, поэтому по известной части можно найти недостающую на основе использования условий Коши-Римана с точностью до аддитивной постоянной. Например, мнимая часть вычисляется при известной действительной части по формуле  \large v(x,y)= \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} [\frac{\partial u}{\partial x}dy-\frac{\partial u}{\partial y}dx]+C .

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: