Свойства частных решений уравнения Бесселя (перечислить не менее трех)

Свойства частных решений уравнения Бесселя.

1) Представление в виде ряда \large J_{\nu}(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^{n}(x/2)^{2n+\nu}}{\Gamma (n+\nu +1)\Gamma (n+1)}}, где \large \Gamma (x) - гамма-функция.
2) Связь между цилиндрическими функциями

\large H_\nu^{(1)}(x)=J_{\nu}(x)+i N_{\nu}(x), \large H_\nu^{(2)}(x)=J_{\nu}(x)-i N_{\nu}(x).
3) Рекуррентные соотношения

\large Z_{\nu +1 }(x)+Z_{\nu -1 }(x)=\frac{2\nu}{x}Z_{\nu }(x)\large Z_{\nu +1 }(x)-Z_{\nu -1 }(x)=-2Z'_{\nu }(x),

где под \large Z_{\nu }(x) понимается любая функция, удовлетворяюшая уравнению Бесселя.

Другой вариант записи: \large (Z_{\nu}(x)x^{\nu})'=Z_{\nu-1}(x)x^{\nu}\large (Z_{\nu}(x)x^{-\nu})'=-Z_{\nu+1}(x)x^{-\nu},
4) Ортогональность цилиндрических функций

\large \int_{0}^{a}{xZ_{\nu }( \lambda_{n} x)Z_{\nu }(\lambda_{m} x)}dx=\left|\left| Z_{\nu }( \lambda_{n}x) \right| \right|^{2}\delta _{nm} ,

где \large \left|\left| Z_{\nu }( \lambda_{n}x) \right| \right|^{2}= \int_{0}^{a}{xZ_\nu^{2}( \lambda_n x)}dx - квадрат нормы цилиндрической функции, \large \lambda_{n} - собственные значения соответствующей краевой задачи, \large \delta _{nm}=\begin{cases} & \text{0, } n\neq m \ & \text{1, } n=m \end{cases} - дельта-символ Кронекера.

5) Поведение цилиндрических функций при нулевом аргументе.

6) Асимптотические формулы для цилиндрических функций.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: