Способы вычисления вычета в особых точках различного типа

Наиболее универсальная формула для вычисления вычета заключается в его определении:

\large Res_{z=z_{0}}f(z)=c_{-1}, где \large c_{-1} - коэффициент разложения в ряд Лорана \large f(z) в окрестности \large z_{0} при степени \large (z-z_{0})^{-1}.

В зависимости от типа особой точки возможны более простые способы.

В случае устранимой особой точки, когда главная часть ряда Лорана отсутствует,

\large Res_{z=z_{0}}f(z)=0.

Вычет в полюсе n-го порядка вычисляется по формуле

\large Res_{z=z_{0}}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{d ^{n-1}}{dz^{n-1}}(f(z)(z-z_{0})^n).

Вычет в полюсе первого порядка, который часто называют простым полюсом, можно определить следующим образом. Функцию, имеющую полюс первого порядка, всегда можно представить в виде отношения   \large f(z)=\frac{\varphi (z)}{\psi (z)}, причем часто не единственным образом. Тогда

\large Res_{z=z_{0}}f(z)=\left.\begin{matrix} \frac{\varphi (z)}{\psi'(z)}\end{matrix}\right|_{z=z_{0}}.

Для существенно  особой точки специальных формул не существует, и вычет в этой точке вычисляется на основе разложения в ряд Лорана.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: