Записать общее решение уравнения Бесселя

Дифференциальное уравнение вида

\large\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+ \frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+(1-\frac{\nu ^{2}}{x^{2}})y=0

называется уравнением Бесселя.

Поскольку общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде линейной комбинации любых (линейно независимых) частных решений, то возможны разнообразные варианты представления общего решения на основе использования функции Бесселя \large J_{\nu }(x), функции Неймана \large N_{\nu }(x) и функций Ханкеля первого и второго рода \large H^{(1)}_{\nu }(x),H^{(2)}_{\nu }(x). Например,

\large y(x)=C_{1}H^{(1)}_{\nu }(x)+C_{2}H^{(2)}_{\nu }(x),

\large y(x)=C_{1}J_{\nu }(x)+C_{2}N_{\nu }(x),

\large y(x)=C_{1}J_{\nu }(x)+C_{2}J_{-\nu }(x) (если \large \nu не является целым числом).
Выбор частных решений определяется соображениями удовлетворения их граничным условиям. Например, если задано граничное условие при \large x=0, необходимо использовать функцию Бесселя, при \large x\rightarrow \infty - функции Ханкеля.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: