Записать ряд Тейлора, ряд Лорана. Пояснить условия применимости.

Функция \large f(z), однозначная и аналитичная в круге \large \left|z-z_{0} \right|< R может быть представлена в виде ряда Тейлора:
\large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty }{c_{n}(z-z_{0})^{n}}.
Радиус сходимости ряда  R равен расстоянию от точки  z_{0} до ближайшей особой точки функции \large f(z).
Выражение для коэффициентов:  \large c_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma}^{ }{\frac{f(s)ds}{(s-z_{0})^{n+1}}}=\frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(z)}{dz^{n}}\mid_{z=z_{0}},
где внутри контура \Gamma расположена точка z_{0} и нет других особых точек.

Функция \large f(z), однозначная и аналитичная в кольце \large r<\left|z-z_{0} \right|< R может быть представлена в виде ряда Лорана:

\large f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }{c_{n}(z-z_{0})^{n}}.
Части ряда, содержащие отрицательные и неотрицательные индексы, называют главной и правильной частями соответственно. Если ряд Лорана содержит только правильную часть, то он совпадает с рядом Тейлора, что имеет место в окрестности правильной (не особой) точки. Отличная от нуля главная часть характерна при разложении в окрестности особой точки.

Коэффициенты ряда определяются формулой \large c_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma}^{ }{\frac{f(s)ds}{(s-z_{0})^{n+1}}},
где внутри контура \Gamma расположена точка z_{0} и нет других особых точек.
Поскольку при положительных индексах \large c_{n}=\frac{1}{n!}\frac{d^{n}f(z)}{dz^{n}}\mid_{z=z_{0}}, то представление в виде контурного интеграла дает возможность обобщения понятия производной на случаи отрицательного и даже дробного порядка.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: