Классификация уравнений с частными производными. Привести примеры.

Для определения типа линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно функции \large u(x_{1},...,x_{n}) вида

\large\sum_{i,j=1}^{n}{A_{i,j}(x_{1},...,x_{n})\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\Phi (x_{1},...,x_{n},u,\frac{\partial u}{\partial x_{i}},...,\frac{\partial u}{\partial x_{n}}),

где \large\Phi - известная функция,

необходимо заменой переменных \large \xi_{k} =\sum_{i=1}^{n}{a_{i,k}x_{i}} привести его в окрестности точки \large (x_{1},...,x_{n}) к канонической форме без смешанных производных

\large\sum_{i=1}^{n}{C_{i}(\xi_{1},...,\xi_{n})\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi_{i}^{2}}}=\Phi_{1} (\xi_{1},...,\xi_{n},u,\frac{\partial u}{\partial \xi_{1}},...,\frac{\partial u}{\partial \xi_{n}}).

Уравнение называется в данной точке

1) эллиптическим, если все \large C_{i} одного знака.

Примерами являются уравнение Лапласа \large \Delta u=0  и уравнение Гельмгольца \large \Delta u+k^{2}u=f(\vec{r}).

2) гиперболическим, если встречаются \large C_{i} с разными знаками (обычно только один из коэффициентов имеет другой знак).

Пример: волновое уравнение \large \Delta u-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=f(\vec{r},t).

3) параболическим, если существуют \large C_{i}=0 , т.е. по некоторым переменным в уравнении присутствует только первая производная.

Пример: параболическое уравнение \large \Delta u+a\frac{\partial u}{\partial t}=f(\vec{r},t).

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: