Определение функции Грина и ее применение при решении неоднородных дифференциальных уравнений

Функция Грина \large G(\vec{x},\vec{x_{0}}) - это решение линейного дифференциального уравнения с правой частью в виде дельта-функции \large\delta (\vec{x},\vec{x_{0}}).

Функция Грина позволяет сразу же записать решение того же дифференциального уравнения с произвольной правой частью \large f(\vec{x}) и произвольными граничными и начальными условиями. При этом для функции Грина используются граничные условия  того же вида, что и в исходной задаче, но однородные.

Примеры:

1. Задача Штурма-Лиувилля с условиями Дирихле

\large \frac{d}{dx}(p(x)\frac{dy(x)}{dx})-q(x)y(x)+\lambda r(x)y(x)=f(x),

\large y(a)=A,  \large y(b)=B,

имеет решение вида

\large y(x_{0})=\int_{a}^{b}{f(x)}G(x,x_{0})dx+p(b)B\left.\begin{matrix}\frac{dG(x,x_{0})}{dx} \end{matrix}\right|_{x=b}-p(a)A\left.\begin{matrix}\frac{dG(x,x_{0})}{dx} \end{matrix}\right|_{x=a}.

2. Уравнение Гельмгольца с граничным условием Дирихле

\large\Delta u(\vec{r})+k^{2}u(\vec{r})=f(\vec{r}),

\large \left.\begin{matrix}u(\vec{r}) \end{matrix}\right|_{\vec{r}\in S}=g(\vec{r_{s}}),

имеет решение

\large u(\vec{r_{0}})=\int_{V}^{} {f(\vec{r})}G(\vec{r},\vec{r_{0}})dV+\int_{S}^{} {g(\vec{r_{s}})}\frac{dG(\vec{r_{s}},\vec{r_{0}})}{dn} dS.

3. Волновое уравнение с граничным условием Дирихле и начальными условиями

\large\Delta u(\vec{r},t)-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u(\vec{r},t)}{\partial t^{2}}=f(\vec{r},t),

\large \left.\begin{matrix}u(\vec{r},t) \end{matrix}\right|_{\vec{r}\in S}=g(\vec{r_{s}},t)\large \left.\begin{matrix}u(\vec{r},t) \end{matrix}\right|_{t=0}=\varphi(\vec{r})\large \left.\begin{matrix}\frac{\partial u(\vec{r},t)}{\partial t}\end{matrix}\right|_{t=0}=\psi(\vec{r}),

имеет решение

\large u(\vec{r_{0}},t_{0})=\int_{0}^{t_{0}}{dt}\int_{V}^{} {f(\vec{r},t)}G(\vec{r},\vec{r_{0}},t,t_{0})dV+\int_{0}^{t_{0}}{dt}\int_{S}^{} {g(\vec{r_{s}},t})\frac{dG}{dn} dS+\frac{1}{c^{2}}\int_{V}^{} {(\varphi(\vec{r})\left.\begin{matrix}\frac{\partial G}{\partial t}\end{matrix}\right|_{t=0}-\psi(\vec{r})\left.\begin{matrix}G\end{matrix}\right|_{t=0})dV}.

 

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: