Основные идеи метода разделения переменных.

Решение неоднородного уравнения с неоднородными условиями, получаемое методом разделения переменных, записывается в виде суммы решений однородного уравнения с неоднородными условиями и неоднородного уравнения с однородными условиями. Таким образом, решение задачи разбивается на 2 этапа.

  1. Решение однородного уравнения с неоднородными условиями:

1.1 Искомая функция ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной.

1.2 Подстановка в уравнение и разделение переменных приводит к равенству, в котором левая и правая части зависят от разных независимых переменных, что позволяет приравнять их к постоянной разделения. Таким образом, задача сводится к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений. При их решении для нахождения произвольных постоянных можно сразу применить однородные условия.

1.3 Основную роль среди этих уравнений играет уравнение по той переменной, которая изменяется в ограниченных пределах и для которой заданы однородные граничные условия. Решение соответствующей задачи Штурма-Лиувилля позволяет найти собственные значения и собственные функции (с точностью до произвольной постоянной).

1.4 Решение исходного однородного уравнения записывается в виде ряда произведений найденных одномерных функций. Произвольные постоянные находим из оставшихся неоднородных условий.

1.5 Универсальным подходом является использование условия ортогональности собственных функций задачи Штурма-Лиувилля: домножаем обе части равенства на ту же собственную функцию, но с другим индексом, и весовую функцию задачи Штурма-Лиувилля, интегрируем по всему диапазону изменения аргумента, согласно условию ортогональности все слагаемые преобразованного ряда обращаются в нуль, кроме случая совпадающих индексов, откуда легко определить требуемую произвольную постоянную.

В случае, когда правая часть условия совпадает с одной или несколькими собственными функциями, произвольные постоянные можно найти подбором.

  1. Решения неоднородного уравнения с однородными условиями:

2.1 Решение ищется в виде разложения по собственным функциям соответствующей однородной задачи.

2.2 Подставка в неоднородное уравнение и применение описанных в пункте 1.5 методов приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое однозначно разрешается с использованием однородных краевых условий.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: