Понятия функционала, экстремали и функции сравнения.

Функционалом называется закон, по которому функции из некоторого класса функций ставится в соответствие определенное число. Наиболее распространенным видом функционала является определенный интеграл, значение которого обусловлено всеми значениями подынтегральной функции. Простейший функционал, на примере которого рассматривается теория вариационного исчисления, имеет вид

\large I[y(x)]=\int_{a}^{b}{}F(x,y(x),y'(x))dx.

Экстремалью называется функция, при подстановке которой функционал принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение. Поиск экстремали составляет основную задачу вариационного исчисления.

Функцией сравнения называется произвольная функция, в некотором смысле мало отличающаяся от искомой экстремали. Для записанного выше функционала функция сравнения имеет вид

\large \tilde{y}(x)=y(x)+\alpha\eta (x), где \large y(x) - экстремаль, \large \alpha - малый числовой параметр, \large \eta (x) - произвольная функция. Выражение \large \delta y(x)=\alpha\eta (x) называют вариацией функции.

Использование функции сравнения позволяет свести задачу поиска экстремума функционала к задаче поиска экстремума функции параметра \large \alpha, которая получается при подстановке функции сравнения в функционал

\large I[\tilde{y}(x)]=\int_{a}^{b}{}F(x,\tilde{y}(x),\tilde{y}'(x))dx=\Phi (\alpha ).

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: