Построение одномерной функции Грина по двум частным решениям

Построение функции Грина для уравнения, записанного в форме задачи Штурма-Лиувилля,  по фундаментальной системе решений соответствующего однородного уравнения в  (построение по 2 частным решениям) является наиболее удобным с практической точки зрения способом ее нахождения. Функция Грина имеет вид

G(x,s)=\frac{1}{p(x)W(x)}\begin{cases}U_{1}(x)U_{2}(s), & x\in [a,s),\\ U_{1}(s)U_{2}(x), & x\in (s,b].\end{cases}

Здесь U_{1}(x), U_{2}(x)  - частные решения однородного уравнения, удовлетворяющие граничным условиям при x=a, x=b соответственно, W(x) -  вронскиан, вычисленный для системы функций U_{1}(x), U_{2}(x)p(x) - коэффициент при второй производной в задаче Штурма-Лиувилля.

Эта формула демонстрирует, в частности, симметричность функции Грина G(x,s)=G(s,x).

Комментарии (3)

Ответов (3) на “Построение одномерной функции Грина по двум частным решениям”

  1. Александр Июнь 18, 2016 в 9:53 пп #

    А здесь аргумент вронскиана и коэффициента разве не S должен быть?

    • Дмитрий Лосев
      Дмитрий Лосев Июнь 20, 2016 в 12:07 пп #

      Для одномерной функции Грина известен интересный факт: произведение функций знаменателя является константой и от значения аргумента не зависит
      \large p(x)W(x)=p(s)W(s)=const.

  2. Дмитрий Лосев
    Дмитрий Лосев Июнь 20, 2016 в 12:10 пп #

    Это свойство часто используется в случае специальных функций, когда в произвольной точке вронскиан вычислить затруднительно, а, например, при \large  x=0 или при \large  x\rightarrow \infty значительно проще.

Оставить ответ

%d bloggers like this: