Понятие первой и второй вариаций функционала

Для исследования функционала, например в форме \large I[y(x)]=\int_{a}^{b}{}F(x,y(x),y'(x))dx,

на экстремум используется функция сравнения \large \tilde{y}(x)=y(x)+\alpha\eta (x), где \large y(x) - экстремаль, \large \alpha - малый числовой параметр, \large \eta (x) - произвольная функция. При подстановке функции сравнения функционал становится функцией параметра \large\alpha

\large I[\tilde{y}(x)]=\int_{a}^{b}{}F(x,y(x)+\alpha\eta (x),y'(x)+\alpha\eta' (x))dx=\Phi (\alpha ).

Вариации функционала определяются разложением

\large I[\tilde{y}(x)]=I[y(x)]+\delta I[y(x)]+\frac{1}{2!}\delta^{2} I[y(x)]+\frac{1}{3!}\delta^{3} I[y(x)]+...,

соответствующим разложению функции \large\Phi (\alpha ) в ряд Тейлора

\large\Phi (\alpha )=\Phi (0)+\Phi'(0)\alpha+\frac{1}{2!}\Phi''(0)\alpha^{2}+\frac{1}{3!}\Phi''' (0)\alpha^{3}+...

В основном используется первая вариация \large\delta I[y(x)]=\Phi'(0)\alpha, равенство нулю которой дает необходимое условие экстремума функционала, и вторая вариация \large\delta^{2} I[y(x)]=\Phi''(0)\alpha^{2}, позволяющая определить, достигается минимум, максимум или экстремум отсутствует.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: