Свойства частных решений линейного уравнения с частными производными второго порядка

Свойства решений линейного однородного уравнения L\left[u(x,y,z,t) \right]=0.

1. Линейная комбинация частных решений однородного уравнения \large u_{1},u_{2}...u_{n}, т.е. функция вида \large c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+...+c_{n}u_{n}, где \large c_{1},c_{2}...c_{n} - произвольные постоянные, также является частным решением однородного уравнения. Это свойство справедливо и для ряда \large\sum_{n=1}^{\infty}{c_{n}u_{n}}, если он сходится равномерно, и его сумма имеет необходимые частные производные.

2. Если коэффициенты уравнения не зависят от какой-либо переменной (например, времени, пространственной координаты или какого-либо параметра), то производные от частного решения по этой переменной также будут частными решениями.

3. Если найдено частное решение \large u(x,y,z,t,\lambda),то частным решением будет и интеграл

\large \int_{a}^{b}{\varphi (\lambda )u(x,y,z,t,\lambda)}d\lambda, где \large a,b - некоторые константы, \large\varphi (\lambda ) - произвольная функция.

Свойства решений линейного неоднородного уравнения

L\left[u(x,y,z,t) \right]=f(x,y,z,t).

1. Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

2. Если \large u_{1},u_{2} - частные решения неоднородных уравнений

\large L\left[u_{1}\right]=f_{1} и \large L\left[u_{2}\right]=f_{2}, то функция \large u_{1}+u_{2} будет решением уравнения \large L\left[u_{1}+u_{2}\right]=f_{1}+f_{2} (принцип суперпозиции).

Неоднородная краевая задача.

Линейной заменой вида \large u=v+w, где \large v - новая искомая функция, можно свести задачу решения неоднородного уравнения с неоднородными начальными и граничными условиями либо к решению неоднородного уравнения с однородными условиями, либо к решению однородного уравнения с неоднородными условиями. В первом случае в качестве \large w выбирается функция, удовлетворяющая  всем краевым условиям, во втором - функция \large w должна быть любым частным решением неоднородного уравнения.

.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: