Сопряженные и самосопряженные дифференциальные операторы

Любое линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка можно привести к форме

\large L[u]=\sum_{i,j=1}^{n}{\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{i,j}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}})+\sum_{i=1}^{n}{b_{i}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=f,

в котором все коэффициенты зависят от \large(x_{1},...,x_{n}).

Тогда оператор \large M[u]=\sum_{i,j=1}^{n}{\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{i,j}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}})-\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial}{\partial x_{i}}(b_{i}u)}+cu

называется сопряженным к оператору \large L[u].

Если все коэффициенты \large b_{i}=0, то операторы \large L[u] и \large M[u] совпадают, и такой оператор называется самосопряженным.

Для самосопряженного оператора справедлива обобщенная формула Грина

\large \int_{\Omega }^{}{(vL[u]-uL[v])}d\Omega=\int_{S }^{}{\sum_{i,j=1}^{n}{a_{i,j}(v\frac{\partial u}{\partial x_{i}}-u\frac{\partial v}{\partial x_{i}})cos(n,x_{i})}}dS,

где \large\Omega - объем n-мерного пространства аргументов уравнения, \large S - ограничивающая его поверхность, n - внешняя нормаль к поверхности \large S.

Формула Грина является основой для представления решения краевой задачи при условии, что найдена соответствующая функция Грина.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: