Свойства одномерной дельта-функции

\large \delta -функция Дирака \large \delta (x-x_{0}) -это наиболее известная из обобщенных функций, которая определяется 2 условиями

1) \large \delta (x-x_{0})=\begin{cases} 0, x \neq x_{0}, \\ \infty , x=x_{0}. \end{cases}

2) \large \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x-x_{0})dx}=1.

Последнее условие можно записать в эквивалентном виде

\large \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-x_{0})dx}=f(x_{0}).

Перечислим наиболее важные свойства:

1) Четность \large \delta (-x)=\delta (x).

2) Подобие \large \delta (ax)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta (x).

3) Селективное свойство \large f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0}), \large x\delta (x)=0.

4) \large \delta -функция от произвольной функции

\large \delta (f(x))=\sum_{k}{\frac{\delta (x-x_{k})}{\mid f'(x_{k})\mid }}, где \large x_{k} - корни уравнения \large f(x)=0, \large f'(x_{k})\neq 0 (обычно их называют простыми нулями функции \large f(x)).

5) Первообразная \large \delta -функции

\large \int_{-\infty}^{x}{\delta (x-x_{0})dx}=\chi(x-x_{0}) ,

где функция \large \chi(x)=\begin{cases} 0, x< x_{0}, \\ 1 , x data-recalc-dims=x_{0}. \end{cases} " /> называется функцией Хевисайда (ступенчатой функцией, функцией включения, функцией единичного скачка и т.п.).

\large \frac{d\chi(x-x_{0})}{dx}=\delta (x-x_{0}).

6) Производная \large \delta -функции

\large f(x)\delta '(x)=-f'(x)\delta (x) (в частности \large x\delta '(x)=-\delta (x)),

\large f(x)\delta^{(n)}(x)=(-1)^{n}f^{(n)}(x)\delta (x).

7) Дифференцирование разрывных функций

Пусть функция имеет разрыв первого рода \large f(x)=\begin{cases} \varphi(x), x< x_{0}, \\ \ \psi(x) , x data-recalc-dims=x_{0}, \end{cases}=\varphi(x)+(\psi(x)-\varphi(x))\chi(x-x_{0})" />

Тогда  ее производная имеет вид

\large f'(x)=\varphi'(x)+(\psi'(x)-\varphi'(x))\chi(x-x_{0})+(\psi(x_{0})-\varphi(x_{0}))\delta(x-x_{0}).

Использование обобщенных функций позволяет дифференцировать любую, а не только непрерывную функцию.

8) Спектральное представление \large \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{i\omega (x-x_{0})}d\omega}=\delta (x-x_{0}).

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: