Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля

1) Множество собственных значений и собственной функций является счётным, т.е.  бесконечным множеством, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами.

2) Собственные значения строго положительны.

3) Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям ортогональны с весом \large r(x),  т.е

\large \int_{a}^{b}{r(x)y_{n}(x)y_{m}(x)dx}=\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}\delta _{nm}, где

\large \delta _{nm}=\begin{cases} & \text{0, } n\neq m \\ & \text{1, } n=m \end{cases} - дельта-символ Кронекера,

\large\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}=\int_{a}^{b}{r(x)y^2_{n}(x)dx} - квадрат нормы собственной функции .

4) Теорема Стеклова: Произвольная функция, дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке \large \left[a, b \right], удовлетворяющая однородным граничным условиям задачи Штурма-Лиувилля, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям  этой задачи

\large f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{c_{n}y_{n}(x)},

коэффициенты которого определяются по формуле

\large c_{n}=\frac{\int_{a}^{b}{r(x)f(x)y_{n}(x)dx}}{\left|\left|y_{n}\right|\right|^{2}}.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: