Типы краевых условий

Краевые условия - это дополнительные условия, которые позволяют выделить из всего многообразия решений дифференциального уравнения единственное частное решение. Они подразделяются на начальные (когда заданы условия на функцию и несколько первых производных в одной, "начальной", точке) и граничные (задаются в различных точках, обычно в граничных точках промежутка изменения аргумента). Начальные условия используются для временной переменной, а граничные  - по координатам. Количество условий равняется наибольшему порядку производной по рассматриваемому аргументу.

В теории выделяют следующие типы краевых условий:

  1. Условия Коши (начальные условия).

\large u(x,t)\mid_{t=0}=\varphi(x)\large\left.\begin{matrix} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\end{matrix}\right|_{t=0}=\psi(x) и т.д.

  1. Условия Дирихле (условия первого рода)- заданы значения функции в граничных точках.

\large u(x,t)\mid_{x=a}=f_{1} (t)\large u(x,t)\mid_{x=b}=f_{2}(t).

  1. Условия Неймана (условия второго рода) - заданы значения производной в граничных точках.

\large\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\mid_{x=a}=g_{1}(t)\large\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\mid_{x=b}=g_{2}(t).

  1. Условия Робена (условия третьего рода)- заданы значения линейной комбинации неизвестной функции и ее производной в граничных точках.

\large(\alpha_{1}u(x,t)+\beta_{1}\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})\mid_{x=a}=h_{1}(t), \large(\alpha_{2}u(x,t)+\beta_{2}\frac{\partial u(x,t)}{\partial x})\mid_{x=b}=h_{2}(t).

  1. Условия на бесконечности. Бывают различного вида (условие излучения, условие Зоммерфельда, условие предельного поглощения и т.д.), но выражают одну и ту же суть: при аргументе, стремящемся к бесконечности, сама искомая функция и все ее производные должны обращаться в нуль.
0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: